미적분 예제

\int x cos (3 x) d x

$\int x \cos (3 x) d x$

단계 1

u = x

$u = x$ 이고

d v = cos (3 x)

$d v = \cos (3 x)$ 일 때

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

x (\frac{1}{3} sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 와

sin (3 x)

$\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

x \frac{sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 2.2

x

$x$ 와

\frac{sin (3 x)}{3}

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 은

x

$x$ 에 대해 상수이므로,

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int sin (3 x) d x)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

단계 4

먼저

u = 3 x

$u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ 이므로

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을

u

$u$ 와

d

$d$

u

$u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

u = 3 x

$u = 3 x$ 로 둡니다.

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

3 x

$3 x$ 를 미분합니다.

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.2

3

$3$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

3 x

$3 x$ 의 미분은

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

단계 4.1.4

3

$3$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

3

$3$

3

$3$

단계 4.2

u

$u$ 와

d u

$d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

단계 5

sin (u)

$\sin (u)$ 와

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{sin (u)}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

단계 6

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 은

u

$u$ 에 대해 상수이므로,

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int sin (u) d u)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 에

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

단계 7.2

3

$3$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

단계 8

sin (u)

$\sin (u)$ 를

u

$u$ 에 대해 적분하면

- cos (u)

$- \cos (u)$ 입니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

단계 9

\frac{x sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ 을

\frac{x sin (3 x)}{3} + \frac{cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ 로 바꿔 씁니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} + \frac{cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

단계 10

u

$u$ 를 모두

3 x

$3 x$ 로 바꿉니다.

\frac{x sin (3 x)}{3} + \frac{cos (3 x)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

\frac{1}{3} x sin (3 x) + \frac{1}{9} cos (3 x) + C

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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