미적분 예제

\infty \sum n = 1 \frac{1}{1 + n^{2}}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

단계 1

급수가 수렴하는지 확인하려면 수열의 적분이 수렴하는지 확인합니다.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

t

$t$ 이

\infty

$\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3

1

$1$ 을

1^{2}

$1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 4

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를

x

$x$ 에 대해 적분하면

arctan (x)]_{1}^{t}

$\arctan (x)]_{1}^{t}$ 입니다.

lim t \to \infty arctan (x)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

t

$t$ ,

1

$1$ 일 때,

arctan (x)

$\arctan (x)$ 값을 계산합니다.

lim t \to \infty (arctan (t)) - arctan (1)

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

단계 5.2

괄호를 제거합니다.

lim t \to \infty arctan (t) - arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

단계 6

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$t$ 가

$\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

단계 6.2

$t$ 가

$\infty$ 으로 한없이 가까워질 때 극한은

$\frac{π}{2}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

단계 6.3

$t$ 가

$\infty$ 에 가까워질 때 상수값

$\arctan (1)$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

단계 6.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은

$\frac{π}{4}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.2

공통 분모를 가지는 분수로

$\frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.3

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$\frac{π}{2}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.3.2

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

단계 6.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.5.1

$π$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

단계 6.4.5.2

$2 π$ 에서

$π$ 을 뺍니다.

$\frac{π}{4}$

단계 7

적분이 수렴하므로 급수가 수렴합니다.

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