미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

단계 1

급수가 수렴하는지 확인하려면 수열의 적분이 수렴하는지 확인합니다.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 4

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x)]_{1}^{t}$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$t$ , $1$ 일 때, $\arctan (x)$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

단계 5.2

괄호를 제거합니다.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

단계 6.2

$t$ 가 $\infty$ 으로 한없이 가까워질 때 극한은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

단계 6.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\arctan (1)$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

단계 6.4

답을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.4.3.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

단계 6.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

단계 6.4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.4.5.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

단계 6.4.5.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{π}{4}$

단계 7

적분이 수렴하므로 급수가 수렴합니다.

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