미적분 예제

\infty \sum k = 1 k e^{k^{2}}

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

단계 1

이 함수가 합 경계값에 대해 연속적인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${k | k \in ℝ}$

단계 1.2

$f (k)$ 는

$[1, \infty)$ 에서 연속입니다.

$연속 함수입니다.$

단계 2

함수가 경계값에 대해 양인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 설정합니다.

$k e^{k^{2}} > 0$

단계 2.2

부등식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식 좌변의 한 인수가

$0$ 이면 전체 식은

$0$ 이 됩니다.

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

단계 2.2.2

$k$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$k = 0$

단계 2.2.3

$e^{k^{2}}$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$k$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$e^{k^{2}}$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{k^{2}} = 0$

단계 2.2.3.2

$e^{k^{2}} = 0$ 을

$k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

단계 2.2.3.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.3.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.4

$k e^{k^{2}} > 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$k = 0$

단계 2.2.5

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$k > 0$

단계 3

함수가 감소하는 지점을 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$k e^{k^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

단계 3.2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$f (k) = k$ ,

$g (k) = e^{k^{2}}$ 일 때

$\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ 는

$f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.2

$f (k) = e^{k}$ ,

$g (k) = k^{2}$ 일 때

$\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ 는

$f' (g (k)) g' (k)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$k^{2}$ 로 바꿉니다.

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.2.2

$a$ =

$e$ 일 때

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은

$a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.2.3

$u$ 를 모두

$k^{2}$ 로 바꿉니다.

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.3

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 는

$n k^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.4

$k$ 를

$1$ 승 합니다.

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.5

$k$ 를

$1$ 승 합니다.

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.6

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.7.2

$e^{k^{2}}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

단계 3.2.1.8

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 는

$n k^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

단계 3.2.1.9

$e^{k^{2}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

단계 3.2.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

단계 3.2.1.10.2

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

단계 3.2.2

$f (k)$ 의

$k$ 에 대한 1차 도함수는

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 입니다.

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

단계 3.3

1차 도함수가

$0$ 이 되도록 한 뒤 방정식

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

1차 도함수가

$0$ 이 되게 합니다.

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

단계 3.3.2

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 에서

$e^{k^{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2 k^{2} e^{k^{2}}$ 에서

$e^{k^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

단계 3.3.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

단계 3.3.2.3

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ 에서

$e^{k^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

단계 3.3.3

방정식 좌변의 한 인수가

$0$ 이면 전체 식은

$0$ 이 됩니다.

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

단계 3.3.4

$e^{k^{2}}$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$k$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$e^{k^{2}}$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{k^{2}} = 0$

단계 3.3.4.2

$e^{k^{2}} = 0$ 을

$k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

단계 3.3.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.3.4.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3.3.5

$2 k^{2} + 1$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$k$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$2 k^{2} + 1$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$2 k^{2} + 1 = 0$

단계 3.3.5.2

$2 k^{2} + 1 = 0$ 을

$k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.1

방정식의 양변에서

$1$ 를 뺍니다.

$2 k^{2} = - 1$

단계 3.3.5.2.2

$2 k^{2} = - 1$ 의 각 항을

$2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.1

$2 k^{2} = - 1$ 의 각 항을

$2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 3.3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 3.3.5.2.2.2.1.2

$k^{2}$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 3.3.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

단계 3.3.5.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

단계 3.3.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ 을

$i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.4.1.1

$- 1$ 을

$i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

단계 3.3.5.2.4.1.2

$1$ 을

$1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

단계 3.3.5.2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

단계 3.3.5.2.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

단계 3.3.5.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 을

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

단계 3.3.5.2.4.5

$1$ 의 거듭제곱근은

$1$ 입니다.

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

단계 3.3.5.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 에

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

단계 3.3.5.2.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 에

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 3.3.5.2.4.7.2

$\sqrt{2}$ 를

$1$ 승 합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 3.3.5.2.4.7.3

$\sqrt{2}$ 를

$1$ 승 합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 3.3.5.2.4.7.4

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 3.3.5.2.4.7.5

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을

$2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{2}$ 을(를)

$2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 3.3.5.2.4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.5.2.4.8

$i$ 와

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.5.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.5.1

먼저,

$\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.5.2.5.2

그 다음

$\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.5.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.6

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

단계 3.4

도함수가

$0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는

$k$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 3.5

도함수

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 가

$0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다.

$f (k) = k e^{k^{2}}$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은

$(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 3.6

구간

$(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면

$1$ 을 도함수

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

수식에서 변수

$k$ 에

$1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

단계 3.6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.2

$2$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.4

간단히 합니다.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

단계 3.6.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 2 e + e$

단계 3.6.2.1.6

간단히 합니다.

$f' (1) = 2 e + e$

단계 3.6.2.2

$2 e$ 를

$e$ 에 더합니다.

$f' (1) = 3 e$

단계 3.6.2.3

최종 답은

$3 e$ 입니다.

$3 e$

단계 3.7

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 에

$1$ 을 대입한 결과는

$3 e$ 로 양수입니다. 따라서 그래프는

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$ 이므로

$(- \infty, \infty)$ 에서 증가함

단계 3.8

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가하면 함수는 항상 증가합니다.

$항상 증가$

단계 4

이 함수가 언제나

$1$ 에서

$\infty$ 까지 감소하는 것이 아니기 때문에 적분 검정이 적용되지 않습니다.

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