미적분 예제

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

단계 1

무한급수 $\sum_{}^{} a_{n}$ 의 경우, 극한 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ 을 구하여 코시의 근판정법으로 수렴을 확인합니다.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

단계 2

$a_{n}$ 에 대입합니다.

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

지수를 절댓값으로 옮깁니다.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

단계 3.2

$\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 3.3

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 3.3.2

$n$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 3.4

지수값을 계산합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.1

절댓값 기호 안으로 극한을 이동합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 4.1.2

$- 2$ 항은 $n$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 4.1.3

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 4.1.4

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

단계 4.2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$n^{\frac{1}{n}}$ 을 $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

단계 4.2.2

$\frac{1}{n}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ 을 전개합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

단계 4.3

극한값을 계산합니다.

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단계 4.3.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

단계 4.3.2

$\frac{1}{n}$ 와 $\ln (n)$ 을 묶습니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

단계 4.4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

단계 4.4.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

단계 4.4.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

단계 4.4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

단계 4.4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

단계 4.4.3.2

$\ln (n)$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{n}$ 입니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

단계 4.4.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

단계 4.4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

단계 4.4.5

$\frac{1}{n}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

단계 4.5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

단계 4.6

답을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

단계 4.6.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

단계 4.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

단계 4.6.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$L = | - 2 |$

단계 4.6.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$L = 2$

단계 5

$L < 1$ 일 경우, 급수는 완전히 수렴합니다. $L > 1$ 일 경우, 급수가 발산합니다. $L = 1$ 일 경우, 검정 결과가 미결정입니다. 이 경우 $L > 1$ 입니다.

급수는 $[0, \infty)$ 에서 발산

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