미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

단계 1

무한급수 $\sum_{}^{} a_{n}$ 의 경우, 극한 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ 을 구하여 코시의 근판정법으로 수렴을 확인합니다.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

단계 2

$a_{n}$ 에 대입합니다.

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

지수를 절댓값으로 옮깁니다.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

단계 3.2

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

단계 3.2.2

$n$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

단계 3.3

간단히 합니다.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

절댓값 기호 안으로 극한을 이동합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

단계 4.2

분모의 $n$ 의 가장 높은 차수인 $n^{3}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3

극한값을 계산합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$n$ 및 $n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1.1.1

$2 n$ 에서 $n$ 를 인수분해합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.2.1

$n^{3}$ 에서 $n$ 를 인수분해합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.1.2

$n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.2

$n^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.2.2

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.3

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.4

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.3.5

$2$ 항은 $n$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.5

극한값을 계산합니다.

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단계 4.5.1

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.5.2

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.5.3

$n$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

단계 4.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{n^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

단계 4.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

단계 4.7.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

단계 4.7.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$L = | \frac{1}{5} |$

단계 4.7.3

$\frac{1}{5}$ 은 약 $0.2$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$L = \frac{1}{5}$

단계 4.8

$1$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$L = 0.2$

단계 5

$L < 1$ 일 경우, 급수는 완전히 수렴합니다. $L > 1$ 일 경우, 급수가 발산합니다. $L = 1$ 일 경우, 검정 결과가 미결정입니다. 이 경우 $L < 1$ 입니다.

급수는 $[1, \infty)$ 에서 수렴

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