미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

단계 1

식 $\frac{1}{10^{x}} + 4$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.2.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.2.2

$10^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $4$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 3.1.1.2.2.1

상수 배수 $4$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.2.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $10^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.2.3

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

단계 3.1.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $10^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + 4 \cdot 10^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.4

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cdot 10^{x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.4.2

$a$ = $10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.5

$0$ 를 $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

단계 3.1.3.6

$a$ = $10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

단계 3.1.4

소거합니다.

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단계 3.1.4.1

$10^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

단계 3.1.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

단계 3.1.4.2

$\ln (10)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

단계 3.1.4.2.2

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} 4$

단계 3.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$4$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = 4$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선: $y = 4$

사선점근선 없음

단계 7

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