미적분 예제

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

단계 1

$y = {(x + 3)}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

단계 2

해당 점이 주어진 함수의 그래프 위에 있는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = 1$ 에서 $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (1) = 4^{2}$

단계 2.1.2.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (1) = 16$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $16$ 입니다.

$16$

단계 2.2

$16 = 16$ 이므로 그래프 위에 있는 점입니다.

그래프 위에 있는 점입니다

단계 3

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ 의 도함수 $=$ $m$

단계 4

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 5

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

단계 5.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

${(x + h + 3)}^{2}$ 을 $(x + h + 3) (x + h + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

단계 5.1.2.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x + h + 3) (x + h + 3)$ 를 전개합니다.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

단계 5.1.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

단계 5.1.2.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

단계 5.1.2.3.3

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

단계 5.1.2.3.4

$h$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

단계 5.1.2.3.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

단계 5.1.2.4

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.4.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

단계 5.1.2.4.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

단계 5.1.2.5

$3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

단계 5.1.2.6

$3 h$ 를 $3 h$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

단계 5.1.2.7

최종 답은 $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ 입니다.

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

단계 5.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

단계 5.2.2

$2 h x$ 와 $h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

단계 5.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

단계 6

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

단계 7.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

단계 7.1.2.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

단계 7.1.3

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

단계 7.1.4

$h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

단계 7.1.5

$6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

단계 7.1.6

$h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

단계 7.1.7

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

단계 7.1.8

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

단계 7.1.9

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.9.1

$h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

단계 7.1.9.2

$2 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

단계 7.1.9.3

$6 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

단계 7.1.9.4

$h (h) + h (2 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

단계 7.1.9.5

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

단계 7.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

단계 7.2.1.2

$h + 2 x + 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

단계 7.2.2

$h$ 와 $2 x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

단계 8

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

단계 8.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

단계 8.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

단계 9

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$2 x + 0 + 6$

단계 10

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 6$

단계 11

$2 (1) + 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 2 + 6$

단계 11.2

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$m = 8$

단계 12

기울기는 $m = 8$ 이고 점은 $(1, 16)$ 입니다.

$m = 8, (1, 16)$

단계 13

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

단계 13.2

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (8) \cdot x + b$

단계 13.3

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (8) \cdot (1) + b$

단계 13.4

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

단계 13.5

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$(8) \cdot (1) + b = 16$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(8) \cdot (1) + b = 16$

단계 13.5.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 + b = 16$

단계 13.5.3

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.3.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$b = 16 - 8$

단계 13.5.3.2

$16$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$b = 8$

단계 14

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = 8 x + 8$

단계 15

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