미적분 예제

(sin (y) + x) d x + (x cos (y)) d y = 0

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

단계 1

M (x, y) = sin (y) + x

$M (x, y) = \sin (y) + x$ 인

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

y

$y$ 에 대해

M

$M$ 을 미분합니다.

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y) + x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해

sin (y) + x

$\sin (y) + x$ 를

y

$y$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.3

sin (y)

$\sin (y)$ 를

y

$y$ 에 대해 미분하면

cos (y)

$\cos (y)$ 입니다.

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

x

$x$ 이

y

$y$ 에 대해 일정하므로,

x

$x$ 를

y

$y$ 에 대해 미분하면

x

$x$ 입니다.

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + 0

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

단계 1.4.2

cos (y)

$\cos (y)$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

단계 2

N (x, y) = x cos (y)

$N (x, y) = x \cos (y)$ 인

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

x

$x$ 에 대해

N

$N$ 을 미분합니다.

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x cos (y)]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

단계 2.2

cos (y)

$\cos (y)$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

x cos (y)

$x \cos (y)$ 의 미분은

cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y) \cdot 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

단계 2.4

cos (y)

$\cos (y)$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

단계 3

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에

cos (y)

$\cos (y)$ 을,

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에

$\cos (y)$ 을 대입합니다.

$\cos (y) = \cos (y)$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\cos (y) = \cos (y)$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합

$f (x, y)$ 을

$N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

단계 5

$N (x, y) = x \cos (y)$ 을 적분하여

$f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$x$ 은

$y$ 에 대해 상수이므로,

$x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

단계 5.2

$\cos (y)$ 를

$y$ 에 대해 적분하면

$\sin (y)$ 입니다.

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로

$C$ 에

$g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해

$f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.2

합의 법칙에 의해

$x \sin (y) + g (x)$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\sin (y)$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$x \sin (y)$ 의 미분은

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3.3

$\sin (y)$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가

$\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서

$\sin (y)$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

단계 9.1.2

$\sin (y) + x - \sin (y)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$\sin (y)$ 에서

$\sin (y)$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

단계 9.1.2.2

$x$ 를

$0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

단계 10

$x$ 의 역도함수를 구하여

$g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해

$x$ 를

$x$ 에 대해 적분하면

$\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ 에서

$g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와

$x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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