미적분 예제

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \sin (y) + x$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $\sin (y) + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.3

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\cos (y)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

단계 1.4.2

$\cos (y)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

단계 2

$N (x, y) = x \cos (y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

단계 2.2

$\cos (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x \cos (y)$ 의 미분은 $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

단계 2.4

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\cos (y)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\cos (y)$ 을 대입합니다.

$\cos (y) = \cos (y)$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\cos (y) = \cos (y)$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

단계 5

$N (x, y) = x \cos (y)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

단계 5.2

$\cos (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\sin (y)$ 입니다.

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $x \sin (y) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\sin (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x \sin (y)$ 의 미분은 $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.3.3

$\sin (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $\sin (y)$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

단계 9.1.2

$\sin (y) + x - \sin (y)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$\sin (y)$ 에서 $\sin (y)$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

단계 9.1.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

단계 10

$x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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