미적분 예제

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

단계 1

미분 방정식을 풀려면

y^{2}

$y^{2}$ 의 지수가

n

$n$ 일 때

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

단계 2

y

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

단계 3

x

$x$ 에 대해

y

$y$ 의 도함수를 구합니다.

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

단계 4

x

$x$ 에 대해

v^{- 1}

$v^{- 1}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

v^{- 1}

$v^{- 1}$ 도함수를 구합니다.

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

단계 4.3

f (x) = 1

$f (x) = 1$ ,

g (x) = v

$g (x) = v$ 일 때

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.2

1

$1$ 이

x

$x$ 에 대해 일정하므로,

1

$1$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

1

$1$ 입니다.

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

v

$v$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.2

0

$0$ 에서

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 뺍니다.

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.5

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ 을

v'

$v'$ 로 바꿔 씁니다.

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

단계 5

원래 방정식

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ 에서

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ 은

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ 으로,

y

$y$ 은

v^{- 1}

$v^{- 1}$ 로 치환합니다.

- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에

- v^{2}

$- v^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에

- v^{2}

$- v^{2}$ 을 곱합니다.

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1

v^{2}

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1.1

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.2

- v^{2}

$- v^{2}$ 에서

v^{2}

$v^{2}$ 를 인수분해합니다.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.2

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5

지수를 더하여

$v^{- 1}$ 에

$v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5.3

$2$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.7

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.8

$v$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

단계 6.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

단계 6.1.3.2.2

$- 1$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

단계 6.1.3.3

지수를 더하여

$v^{- 2}$ 에

$v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

단계 6.1.3.3.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

단계 6.1.3.3.3

$2$ 에서

$2$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

단계 6.1.3.4

$- e^{x} v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

단계 6.2

적분 인수는

$e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는

$P (x) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 6.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 6.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 6.3

각 항에 적분 인수

$e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

각 항에

$e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

단계 6.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

단계 6.3.3

지수를 더하여

$e^{x}$ 에

$e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

단계 6.3.3.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

단계 6.3.3.3

$x$ 를

$x$ 에 더합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

단계 6.3.4

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

단계 6.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

단계 6.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

단계 6.6

좌변을 적분합니다.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

단계 6.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 1$ 은

$x$ 에 대해 상수이므로,

$- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

단계 6.7.2

먼저

$u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면

$d u = 2 d x$ 이므로

$\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을

$u$ 와

$d$

$u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$u = 2 x$ 로 둡니다.

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.7.2.1.2

$2$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$2 x$ 의 미분은

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.7.2.1.3

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.7.2.1.4

$2$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.7.2.2

$u$ 와

$d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 6.7.3

$e^{u}$ 와

$\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 6.7.4

$\frac{1}{2}$ 은

$u$ 에 대해 상수이므로,

$\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 6.7.5

$e^{u}$ 를

$u$ 에 대해 적분하면

$e^{u}$ 입니다.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

단계 6.7.6

간단히 합니다.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

단계 6.7.7

$u$ 를 모두

$2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

단계 6.8

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 의 각 항을

$e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 의 각 항을

$e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.2.1.2

$v$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.1

$e^{2 x}$ 및

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.1.1

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ 에서

$e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3.1.1.2.4

$- \frac{1}{2} e^{x}$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 6.8.3.1.2

$e^{x}$ 와

$\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7

$v$ 에

$y^{- 1}$ 를 대입합니다.

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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