미적분 예제

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

단계 1

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

단계 1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = r x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $r x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

단계 1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $r x$ 로 바꿉니다.

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

단계 1.3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$r$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $r x$ 의 미분은 $r \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{r x} (r \cdot 1)$

단계 1.3.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.3.1

$r$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{r x} r$

단계 1.3.2.3.2

$e^{r x} r$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$r e^{r x}$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = r e^{r x}$

단계 2

$y''$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

단계 2.2

$r$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $r e^{r x}$ 의 미분은 $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ 입니다.

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = r x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $r x$ 로 바꿉니다.

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $r x$ 로 바꿉니다.

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

단계 2.4

$r$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $r x$ 의 미분은 $r \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.5

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.6

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

단계 2.10

$e^{r x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = r^{2} e^{r x}$

단계 3

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

단계 4

$e^{r x}$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$4 (r^{2} y) = y$

단계 5

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4 r^{2} y = y$ 의 각 항을 $4 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$4 r^{2} y = y$ 의 각 항을 $4 y$ 로 나눕니다.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.2.2.2

$r^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

단계 5.1.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

단계 5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

단계 5.3

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 5.3.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \pm \frac{1}{2}$

단계 5.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = \frac{1}{2}$

단계 5.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - \frac{1}{2}$

단계 5.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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