미적분 예제

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

단계 1

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

단계 1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = k x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $k x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

단계 1.3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $k x$ 로 바꿉니다.

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

단계 1.3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$k$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $k x$ 의 미분은 $k \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

단계 1.3.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.3.1

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (k x) k$

단계 1.3.2.3.2

$\cos (k x) k$ 인수를 다시 정렬합니다.

$k \cos (k x)$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = k \cos (k x)$

단계 2

$y''$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

단계 2.2

$k$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $k \cos (k x)$ 의 미분은 $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ 입니다.

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

단계 2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = k x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $k x$ 로 바꿉니다.

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

단계 2.3.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $k x$ 로 바꿉니다.

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

단계 2.4

$k$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $k x$ 의 미분은 $k \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.5

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.6

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

단계 2.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

단계 2.11

$k^{2} (- \sin (k x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

단계 3

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

단계 4

$\sin (k x)$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

단계 5

$k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 k^{2} y + y = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$- 3 k^{2} y = - y$

단계 5.3

$- 3 k^{2} y = - y$ 의 각 항을 $- 3 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 3 k^{2} y = - y$ 의 각 항을 $- 3 y$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.2.2.2

$k^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

단계 5.3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 5.3.3.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

단계 5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 5.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 5.5.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 5.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 5.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 5.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 5.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 5.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 5.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 5.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 5.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 5.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 5.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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