미적분 예제

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

단계 1

주어진 해가 미분 방정식을 충족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

y'

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

단계 1.1.2

y

$y$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

y'

$y'$ 입니다.

y'

$y'$

단계 1.1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

c

$c$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ 의 미분은

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 1.1.3.2

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ ,

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

u

$u$ 를

2 x

$2 x$ 로 바꿉니다.

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.3.2.2

a

$a$ =

e

$e$ 일 때

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.3.2.3

u

$u$ 를 모두

2 x

$2 x$ 로 바꿉니다.

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.1.3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

2

$2$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

2 x

$2 x$ 의 미분은

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.3.2

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

단계 1.1.3.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.3.1

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

단계 1.1.3.3.3.2

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ 의 왼쪽으로

2

$2$ 이동하기

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

단계 1.1.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

단계 1.1.3.4.2

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

단계 1.1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

단계 1.2

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

단계 1.3

괄호를 제거합니다.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

단계 1.4

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ 이

y' = 2 y

$y' = 2 y$ 의 해입니다.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ 이

y' = 2 y

$y' = 2 y$ 의 해입니다.

단계 2

초기 조건에 대입합니다.

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

단계 3

c

$c$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

단계 3.2

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

2

$2$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

단계 3.2.2

모든 수의

0

$0$ 승은

1

$1$ 입니다.

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

단계 3.2.3

c

$c$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

문제를 입력하십시오