미적분 예제

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

단계 1

주어진 해가 미분 방정식을 충족하는지 확인합니다.

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단계 1.1

$y'$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

단계 1.1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $c e^{x^{2}}$ 의 미분은 $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 입니다.

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$c e^{x^{2}} (2 x)$

단계 1.1.3.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$c e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} c x$

단계 1.1.3.4.2

$2 e^{x^{2}} c x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 c x e^{x^{2}}$

단계 1.1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

단계 1.2

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

단계 1.3

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

단계 1.4

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = c e^{x^{2}}$ 이 $y' = 2 x y$ 의 해입니다.

단계 2

초기 조건에 대입합니다.

$1 = c e^{0^{2}}$

단계 3

$c$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$c e^{0^{2}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$c e^{0^{2}} = 1$

단계 3.2

$c e^{0^{2}} = 1$ 의 각 항을 $e^{0^{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$c e^{0^{2}} = 1$ 의 각 항을 $e^{0^{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$e^{0^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

단계 3.2.2.1.2

$c$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$c = \frac{1}{e^{0}}$

단계 3.2.3.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$c = \frac{1}{1}$

단계 3.2.3.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$c = 1$

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