미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{4 y - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

단계 1.4

$4 y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 4 y - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d y$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 4 y - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$4 y - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 y - 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [4 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $4 y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

단계 2.2.1.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$- 3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $4 y - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (| 4 y - 3 |)$ 을 묶습니다.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

단계 3.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

단계 3.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

단계 3.4.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

단계 3.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

단계 3.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

단계 3.7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

단계 3.7.2

양변에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

단계 3.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

단계 3.7.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

단계 3.7.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.3.2.1

$e^{4 C} x^{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

단계 3.7.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

단계 3.7.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

단계 3.7.4.3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.3.1

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 3.7.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 3.7.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

단계 6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

단계 6.2.2

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

단계 6.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{3}{4}$ 를 뺍니다.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

단계 6.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

단계 6.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

단계 6.3.4

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

단계 6.4

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$C = 1$

단계 7

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ 의 $C$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

단계 7.2

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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