미적분 예제

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

단계 2

$\cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\cos (x) \ln (\sin (x))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

단계 3.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.10

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

단계 3.2.11

간단히 합니다.

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단계 3.2.11.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.11.2.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.2.2

$\cos^{2} (x)$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.11.3.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.3.2

분수를 나눕니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.3.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 3.2.11.3.4

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.1.2

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.2.1

$\cos (x)$ 와 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.1.2.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

단계 5.3

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 와 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

단계 5.4

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.1

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 를 옮깁니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

단계 5.4.2

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

단계 5.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.5

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.1

$\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.5.2.4

$\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

단계 5.6

$\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

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