미적분 예제

$y = x^{\ln (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

단계 2.2

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

단계 2.3

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

단계 2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\ln^{2} (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

단계 3.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.4.1

$\frac{1}{x}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

단계 3.2.4.2

$\frac{2}{x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

단계 3.2.5

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 와 $x^{\ln (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

단계 5.2

$x^{\ln (x)}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

단계 5.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

단계 5.2.2.5

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

단계 5.3

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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