미적분 예제

y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}

$y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})$

단계 2

y

$y$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

$y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해

$x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ ,

$g (x) = y^{3}$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{3}$ ,

$g (x) = y$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u_{1}$ 를

$y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.2.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는

$n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두

$y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을

$y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.4

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로

$3$ 이동하기

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.2.6

$y^{3}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$f (x) = x^{3}$ ,

$g (x) = y^{2}$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ ,

$g (x) = y$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u_{2}$ 를

$y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는

$n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두

$y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을

$y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.4

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})$

단계 3.3.5

$x^{3}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

단계 3.3.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로

$3$ 이동하기

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y'$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y'$

단계 5.2

방정식의 양변에서

$y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = 0$

단계 5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서

$2 y^{3} x$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = - 2 y^{3} x$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서

$3 x^{2} y^{2}$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.4

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y'$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$3 x^{2} y^{2} y'$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 x^{2} y^{2}) + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.4.2

$2 x^{3} y y'$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.4.3

$- y'$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.4.4

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y)$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.4.5

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1$ 에서

$y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.5

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 의 각 항을

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 의 각 항을

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.2

$- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 에서

$y^{2} x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.2.1

$- 2 y^{3} x$ 에서

$y^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.2.2

$- 3 x^{2} y^{2}$ 에서

$y^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.2.3

$y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)$ 에서

$y^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.3

$- 2 y$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.4

$- 3 x$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - (3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.5

$- (2 y) - (3 x)$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.6.1

$- (2 y + 3 x)$ 을

$- 1 (2 y + 3 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y^{2} x (- 1 (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 5.5.3.6.3

$- \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

단계 6

$y'$ 에

$\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

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