미적분 예제

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x - y)}^{2}$ 을 $(x - y) (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - y) (x - y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

단계 2.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

단계 2.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

단계 2.3.1.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

단계 2.3.1.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

단계 2.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

단계 2.3.1.6

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

단계 2.3.2

$- x y$ 에서 $y x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

단계 2.3.2.2

$- x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.5

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.6

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.7

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ 입니다.

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.8

$f (y) = x$ , $g (y) = y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.9

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.9.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.9.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.10

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

단계 2.12

간단히 합니다.

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단계 2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

단계 2.12.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

단계 2.12.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 3.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x' + 1 + 0$

단계 3.5

$x' + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x' + 1$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $x'$ 를 뺍니다.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

단계 5.2

$x'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.3

$2 x x' - 2 y x' - x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$2 x x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.3.2

$- 2 y x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.3.3

$- x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.3.4

$x' (2 x) + x' (- 2 y)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.3.5

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

단계 5.4

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ 의 각 항을 $2 x - 2 y - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ 의 각 항을 $2 x - 2 y - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2 x - 2 y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 5.4.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 5.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 5.4.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

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