미적분 예제

y = ∣ ∣ x^{2} - x ∣ ∣

$y = | x^{2} - x |$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (∣ ∣ x^{2} - x ∣ ∣)

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

단계 2

y

$y$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

y'

$y'$ 입니다.

y'

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

f (x) = | x |

$f (x) = | x |$ ,

g (x) = x^{2} - x

$g (x) = x^{2} - x$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

u

$u$ 를

x^{2} - x

$x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 3.1.2

| u |

$| u |$ 를

u

$u$ 에 대해 미분하면

\frac{u}{| u |}

$\frac{u}{| u |}$ 입니다.

\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 3.1.3

u

$u$ 를 모두

x^{2} - x

$x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해

x^{2} - x

$x^{2} - x$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2.2

n = 2

$n = 2$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2.3

- 1

$- 1$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

- x

$- x$ 의 미분은

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.4

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

단계 3.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

단계 3.2.5.2

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

단계 5

y'

$y'$ 에

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

단계 6

\frac{d y}{d x} = 0

$\frac{d y}{d x} = 0$ 으로 두고

y

$y$ 로 표현된

x

$x$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식 좌변의 한 인수가

0

$0$ 이면 전체 식은

0

$0$ 이 됩니다.

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

단계 6.2

2 x - 1

$2 x - 1$ 이

0

$0$ 가 되도록 하고

x

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

2 x - 1

$2 x - 1$ 를

0

$0$ 와 같다고 둡니다.

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

단계 6.2.2

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$ 을

x

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

방정식의 양변에

1

$1$ 를 더합니다.

2 x = 1

$2 x = 1$

단계 6.2.2.2

2 x = 1

$2 x = 1$ 의 각 항을

2

$2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

2 x = 1

$2 x = 1$ 의 각 항을

2

$2$ 로 나눕니다.

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.2.1

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 6.2.2.2.2.1.2

$x$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 6.3

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

단계 6.3.2

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ 을

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x^{2} - x = 0$

단계 6.3.2.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

$x^{2} - x$ 에서

$x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

$x^{2}$ 에서

$x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x - x = 0$

단계 6.3.2.2.1.2

$- x$ 에서

$x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

단계 6.3.2.2.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ 에서

$x$ 를 인수분해합니다.

$x (x - 1) = 0$

단계 6.3.2.2.2

방정식 좌변의 한 인수가

$0$ 이면 전체 식은

$0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

단계 6.3.2.2.3

$x$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.3.2.2.4

$x - 1$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.4.1

$x - 1$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.3.2.2.4.2

방정식의 양변에

$1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 6.3.2.2.5

$x (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1$

단계 6.4

$(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

단계 6.5

$(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 7

$| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

단계 7.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

단계 7.1.3

$2$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

단계 7.2

공통 분모를 가지는 분수로

$- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

단계 7.3

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\frac{1}{2}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

단계 7.3.2

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

단계 7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

단계 7.5

$1$ 에서

$2$ 을 뺍니다.

$y = | \frac{- 1}{4} |$

단계 7.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = | - \frac{1}{4} |$

단계 7.7

$- \frac{1}{4}$ 은 약

$- 0.25$ 로 음수이므로,

$- \frac{1}{4}$ 의 부호를 반대로 바꾸고 절대값 기호를 없앱니다.

$y = \frac{1}{4}$

단계 8

$\frac{d y}{d x} = 0$ 인 점을 구합니다.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

단계 9

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