미적분 예제

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x - 4 \cos (3 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

단계 3.2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \cos (3 x)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ 입니다.

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

단계 3.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

단계 3.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

단계 3.3.7

$- 3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 + 12 \sin (3 x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

단계 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ 으로 두고 $y$ 로 표현된 $x$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$12 \sin (3 x) = - 6$

단계 6.2

$12 \sin (3 x) = - 6$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$12 \sin (3 x) = - 6$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

단계 6.2.2.1.2

$\sin (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 6$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

단계 6.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.1

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

단계 6.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

단계 6.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

단계 6.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

단계 6.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$3 x = - \frac{π}{6}$

단계 6.5

$3 x = - \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$3 x = - \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

단계 6.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

단계 6.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

단계 6.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

단계 6.5.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{π}{6}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

단계 6.5.3.2.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{18}$

단계 6.6

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 6.7

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 6.7.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$3 x = \frac{7 π}{6}$

단계 6.7.3

$3 x = \frac{7 π}{6}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.1

$3 x = \frac{7 π}{6}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

단계 6.7.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

단계 6.7.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

단계 6.7.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

단계 6.7.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

단계 6.7.3.3.2.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{18}$

단계 6.8

$\sin (3 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

단계 6.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 6.9

모든 음의 각에 $\frac{2 π}{3}$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

$- \frac{π}{18}$ 에 $\frac{2 π}{3}$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

단계 6.9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

단계 6.9.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $18$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.3.1

$\frac{2 π}{3}$ 에 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

단계 6.9.3.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

단계 6.9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

단계 6.9.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.5.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{18}$

단계 6.9.5.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{18}$

단계 6.9.6

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{18}$

단계 6.10

함수 $\sin (3 x)$ 의 주기는 $\frac{2 π}{3}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{2 π}{3}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$

단계 7

$6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.2

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$18$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 7.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 7.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.6.1

$18$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 7.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 7.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 7.1.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.7.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 7.1.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

단계 7.2

바꾸어 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{7 π}{6}$ 와 $2 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

단계 7.2.2

$\frac{7 π}{3}$ 와 $4 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

단계 8

$6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.2

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$18$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

단계 8.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 8.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.6.1

$18$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 8.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 8.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 8.1.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.7.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

단계 8.1.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

단계 8.2

바꾸어 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\frac{11 π}{6}$ 와 $2 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

단계 8.2.2

$\frac{11 π}{3}$ 와 $4 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

단계 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ 인 점을 구합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$

단계 10

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