미적분 예제

\frac{x + 3}{x^{2} - 1}

$\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$

단계 1

f (x) = x + 3

$f (x) = x + 3$ ,

g (x) = x^{2} - 1

$g (x) = x^{2} - 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해

x + 3

$x + 3$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.3

3

$3$ 이

x

$x$ 에 대해 일정하므로,

3

$3$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

3

$3$ 입니다.

\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.4

1

$1$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.6

n = 2

$n = 2$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.7

- 1

$- 1$ 이

x

$x$ 에 대해 일정하므로,

- 1

$- 1$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

- 1

$- 1$ 입니다.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.8

2 x

$2 x$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

x^{2}

$x^{2}$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

지수를 더하여

x

$x$ 에

x

$x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.4.1

x

$x$ 를 옮깁니다.

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4.2

x

$x$ 에

x

$x$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

- 1

$- 1$ 에

2

$2$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.6

- 1

$- 1$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.7

2

$2$ 에

- 3

$- 3$ 을 곱합니다.

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

x^{2}

$x^{2}$ 에서

2 x^{2}

$2 x^{2}$ 을 뺍니다.

\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

1

$1$ 을

1^{2}

$1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때

a = x

$a = x$ 이고

b = 1

$b = 1$ 입니다.

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

단계 3.6.3

(x + 1) (x - 1)

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.7

- x^{2}

$- x^{2}$ 에서

- 1

$- 1$ 를 인수분해합니다.

\frac{- (x^{2}) - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

$\frac{- (x^{2}) - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8

- 6 x

$- 6 x$ 에서

- 1

$- 1$ 를 인수분해합니다.

\frac{- (x^{2}) - (6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

$\frac{- (x^{2}) - (6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.9

- (x^{2}) - (6 x)

$- (x^{2}) - (6 x)$ 에서

- 1

$- 1$ 를 인수분해합니다.

\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.10

$- 1$ 을

$- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.11

$- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.12

$- (x^{2} + 6 x + 1)$ 을

$- 1 (x^{2} + 6 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

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