미적분 예제
,
단계 1
입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, 이며 여기에서 반지름은 입니다.
, 일 때 입니다
단계 2
단계 2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 2.1.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.1.2
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 2.1.2.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.3
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 2.1.3.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 2.1.3.1.1
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 2.1.3.1.2
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.2.1
를 옮깁니다.
단계 2.1.3.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.1.3.1.2.3
를 에 더합니다.
단계 2.1.3.1.3
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 2.1.3.1.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.5.1
를 옮깁니다.
단계 2.1.3.1.5.2
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.5.2.1
를 승 합니다.
단계 2.1.3.1.5.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.1.3.1.5.3
를 에 더합니다.
단계 2.1.3.1.6
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.7
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 2.1.3.1.8
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.8.1
를 옮깁니다.
단계 2.1.3.1.8.2
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.8.2.1
를 승 합니다.
단계 2.1.3.1.8.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.1.3.1.8.3
를 에 더합니다.
단계 2.1.3.1.9
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.10
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 2.1.3.1.11
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.11.1
를 옮깁니다.
단계 2.1.3.1.11.2
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.1.12
에 을 곱합니다.
단계 2.1.3.2
에서 을 뺍니다.
단계 2.1.4
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.5
를 승 합니다.
단계 2.1.6
에 을 곱합니다.
단계 2.2
에서 을 뺍니다.
단계 3
하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.
단계 4
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 5
멱의 법칙에 의해 를 에 대해 적분하면 가 됩니다.
단계 6
와 을 묶습니다.
단계 7
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 8
멱의 법칙에 의해 를 에 대해 적분하면 가 됩니다.
단계 9
와 을 묶습니다.
단계 10
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 11
멱의 법칙에 의해 를 에 대해 적분하면 가 됩니다.
단계 12
단계 12.1
와 을 묶습니다.
단계 12.2
대입하여 간단히 합니다.
단계 12.2.1
, 일 때, 값을 계산합니다.
단계 12.2.2
, 일 때, 값을 계산합니다.
단계 12.2.3
, 일 때, 값을 계산합니다.
단계 12.2.4
간단히 합니다.
단계 12.2.4.1
를 승 합니다.
단계 12.2.4.2
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 12.2.4.3
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.3.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.3.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.3.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.3.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.3.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 12.2.4.3.2.4
을 로 나눕니다.
단계 12.2.4.4
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.5
를 에 더합니다.
단계 12.2.4.6
와 을 묶습니다.
단계 12.2.4.7
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.8
를 승 합니다.
단계 12.2.4.9
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 12.2.4.10
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.10.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.10.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.10.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.10.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.10.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 12.2.4.10.2.4
을 로 나눕니다.
단계 12.2.4.11
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.12
를 에 더합니다.
단계 12.2.4.13
와 을 묶습니다.
단계 12.2.4.14
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.15
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 12.2.4.16
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 12.2.4.17
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 12.2.4.18
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
단계 12.2.4.18.1
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.18.2
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.18.3
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.18.4
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.19
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 12.2.4.20
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.21
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.22
에서 을 뺍니다.
단계 12.2.4.23
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 12.2.4.24
를 승 합니다.
단계 12.2.4.25
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 12.2.4.26
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.26.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.26.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.26.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.4.26.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.4.26.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 12.2.4.26.2.4
을 로 나눕니다.
단계 12.2.4.27
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.28
를 에 더합니다.
단계 12.2.4.29
와 을 묶습니다.
단계 12.2.4.30
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.31
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 12.2.4.32
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 12.2.4.33
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
단계 12.2.4.33.1
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.33.2
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.33.3
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.33.4
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.34
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 12.2.4.35
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.36
에 을 곱합니다.
단계 12.2.4.37
를 에 더합니다.
단계 12.2.4.38
와 을 묶습니다.
단계 12.2.4.39
에 을 곱합니다.
단계 13
을 로 나눕니다.
단계 14