미적분 예제

y = x - 2

$y = x - 2$ ,

(2, 7)

$(2, 7)$

단계 1

주어진 구간

[a, b]

$[a, b]$ 에서의 함수

f

$f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

단계 2

실제값을 함수의 제곱 평균 제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

단계 3

적분을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

먼저

u = x - 2

$u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면

d u = d x

$d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을

u

$u$ 와

d

$d$

u

$u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

u = x - 2

$u = x - 2$ 로 둡니다.

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

x - 2

$x - 2$ 를 미분합니다.

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 3.1.1.2

합의 법칙에 의해

x - 2

$x - 2$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.1.3

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.1.4

- 2

$- 2$ 이

x

$x$ 에 대해 일정하므로,

- 2

$- 2$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

- 2

$- 2$ 입니다.

1 + 0

$1 + 0$

단계 3.1.1.5

1

$1$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

1

$1$

1

$1$

단계 3.1.2

u = x - 2

$u = x - 2$ 의

x

$x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

u_{lower} = 2 - 2

$u_{lower} = 2 - 2$

단계 3.1.3

2

$2$ 에서

2

$2$ 을 뺍니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

단계 3.1.4

u = x - 2

$u = x - 2$ 의

x

$x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

u_{upper} = 7 - 2

$u_{upper} = 7 - 2$

단계 3.1.5

7

$7$ 에서

2

$2$ 을 뺍니다.

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

단계 3.1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ ,

u_{upper}

$u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

단계 3.1.7

u

$u$ 와

d u

$d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

단계 3.2

멱의 법칙에 의해

u^{2}

$u^{2}$ 를

u

$u$ 에 대해 적분하면

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

단계 3.3

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

5

$5$ ,

0

$0$ 일 때,

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

5

$5$ 를

3

$3$ 승 합니다.

\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2.2

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 와

125

$125$ 을 묶습니다.

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2.3

0

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

0

$0$ 이 나옵니다.

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

단계 3.3.2.4

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

단계 3.3.2.5

0

$0$ 에

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

\frac{125}{3} + 0

$\frac{125}{3} + 0$

단계 3.3.2.6

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

단계 4

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

\frac{1}{7 - 2}

$\frac{1}{7 - 2}$ 에

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ 을 곱합니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

단계 4.2

7

$7$ 에서

2

$2$ 을 뺍니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3

공약수를 소거하여 수식

\frac{125}{5 \cdot 3}

$\frac{125}{5 \cdot 3}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

125

$125$ 에서

5

$5$ 를 인수분해합니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3.2

5 \cdot 3

$5 \cdot 3$ 에서

5

$5$ 를 인수분해합니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

단계 4.4

\sqrt{\frac{25}{3}}

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ 을

\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

25

$25$ 을

5^{2}

$5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

단계 4.6

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 에

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

\frac{5}{\sqrt{3}}

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 에

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.2

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 를

1

$1$ 승 합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.3

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 를

1

$1$ 승 합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.4

지수 법칙

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 4.7.5

1

$1$ 를

1

$1$ 에 더합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 4.7.6

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 을

3

$3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.6.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 을(를)

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.7.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 와

2

$2$ 을 묶습니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}