미적분 예제

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

단계 1

주어진 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

단계 2

실제값을 함수의 제곱 평균 제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

단계 3

적분을 계산합니다.

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단계 3.1

먼저 $u = 5 x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$u = 5 x + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1.1

$5 x + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

단계 3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1.4.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$5 + 0$

단계 3.1.1.4.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 3.1.2

$u = 5 x + 5$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

단계 3.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.1.3.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 5 + 5$

단계 3.1.3.2

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.1.4

$u = 5 x + 5$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5 + 5$

단계 3.1.5.2

$5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 10$

단계 3.1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

단계 3.1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

단계 3.2

$u^{2}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

단계 3.3

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

단계 3.4

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

단계 3.5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$10$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

단계 3.5.2

간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

단계 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $1000$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

단계 3.5.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

단계 3.5.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

단계 3.5.2.5

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

단계 3.5.2.6

$\frac{1000}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

단계 3.5.2.7

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1000}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

단계 3.5.2.8

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1000}{15}$

단계 3.5.2.9

$1000$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.9.1

$1000$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (200)}{15}$

단계 3.5.2.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.9.2.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

단계 3.5.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

단계 3.5.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{200}{3}$

단계 4

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{1 + 1}$ 에 $\frac{200}{3}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

단계 4.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

단계 4.3

공약수를 소거하여 수식 $\frac{200}{2 \cdot 3}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 4.3.1

$200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

단계 4.3.2

$2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

단계 4.4

$\sqrt{\frac{100}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

단계 4.6

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

단계 4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

단계 6

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