미적분 예제

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(- 5, 1)$

단계 1

$y = 3 x^{2} + 3 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f (x)$ 는 $[- 5, 1]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

단계 7

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

단계 10

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$1$ , $- 5$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

단계 12.2.2

$1$ , $- 5$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.2

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.5

$\frac{125}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.7

$1$ 를 $125$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.8

$126$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.8.1

$126$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.8.2.4

$42$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.9

$3$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

단계 12.2.3.11

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

단계 12.2.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

단계 12.2.3.13

$1$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

단계 12.2.3.14

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.14.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

단계 12.2.3.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.14.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

단계 12.2.3.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

단계 12.2.3.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

단계 12.2.3.14.2.4

$- 12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

단계 12.2.3.15

$3$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

단계 12.2.3.16

$126$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

단계 13

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

단계 14

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$90$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 15$

단계 15

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