미적분 예제

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 의 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$2 x + 2 + 0$

단계 1.1.3.2

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x + 2$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x + 2$ 입니다.

$2 x + 2$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f' (x)$ 는 $[0, 6]$ 에서 연속입니다.

$f' (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f'$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

단계 7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$6$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

단계 11.2

$6$ , $0$ 일 때, $2 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.2

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.2.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.2.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.6

$18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.7

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.8

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

단계 11.3.9

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

단계 11.3.10

$12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

단계 11.3.11

$36$ 를 $12$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

단계 12

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

단계 12.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

단계 13

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

$48$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 8$

단계 14

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