미적분 예제

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

단계 1

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{6} - 3 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

단계 1.1.1.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{4}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{5} - 12 x^{3}$ 입니다.

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f' (x)$ 는 $[0, 2]$ 에서 연속입니다.

$f' (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f'$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

단계 7

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} x^{6}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

단계 9

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{6}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

단계 10

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{6}}{6}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

단계 12.2.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.2

$64$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.4

$0$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.4.1

$0$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.4.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.6

$\frac{32}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.7

$6$ 와 $\frac{32}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.8

$6$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.9

$192$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.9.1

$192$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.9.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.9.2.4

$64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.10

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.11

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.11.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.11.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.11.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

단계 12.2.3.12

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

단계 12.2.3.13

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.13.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

단계 12.2.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.13.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

단계 12.2.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

단계 12.2.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

단계 12.2.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

단계 12.2.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

단계 12.2.3.15

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

단계 12.2.3.16

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

단계 12.2.3.17

$64$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

단계 13

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

단계 13.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

단계 14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 8$

단계 15

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