미적분 예제

$y = 3 x - x^{2}$ ,

$y = x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$3 x - x^{2} = x^{2}$

단계 1.2

$3 x - x^{2} = x^{2}$ 을

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서

$x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 x - x^{2} - x^{2} = 0$

단계 1.2.1.2

$- x^{2}$ 에서

$x^{2}$ 을 뺍니다.

$3 x - 2 x^{2} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든

$x$ 를

$u$ 로 바꿉니다.

$3 u - 2 u^{2} = 0$

단계 1.2.2.2

$3 u - 2 u^{2}$ 에서

$u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$3 u$ 에서

$u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 - 2 u^{2} = 0$

단계 1.2.2.2.2

$- 2 u^{2}$ 에서

$u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 3 + u (- 2 u) = 0$

단계 1.2.2.2.3

$u \cdot 3 + u (- 2 u)$ 에서

$u$ 를 인수분해합니다.

$u (3 - 2 u) = 0$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두

$x$ 로 바꿉니다.

$x (3 - 2 x) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가

$0$ 이면 전체 식은

$0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$3 - 2 x = 0 + y = x^{2}$

단계 1.2.4

$x$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$3 - 2 x$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$3 - 2 x$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$3 - 2 x = 0$

단계 1.2.5.2

$3 - 2 x = 0$ 을

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서

$3$ 를 뺍니다.

$- 2 x = - 3$

단계 1.2.5.2.2

$- 2 x = - 3$ 의 각 항을

$- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$- 2 x = - 3$ 의 각 항을

$- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

단계 1.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

단계 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 2}$

단계 1.2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 1.2.6

$x (3 - 2 x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{3}{2}$

단계 1.3

$x = 0$ 이면

$y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에

$0$ 를 대입합니다.

$y = {(0)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = {(0)}^{2}$ 에서

$x$ 에

$0$ 을 대입하고

$y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{2}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = \frac{3}{2}$ 이면

$y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에

$\frac{3}{2}$ 를 대입합니다.

$y = {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 1.4.2

${(\frac{3}{2})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

단계 1.4.2.2

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = \frac{9}{2^{2}}$

단계 1.4.2.3

$2$ 를

$2$ 승 합니다.

$y = \frac{9}{4}$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

단계 2

$3 x$ 와

$- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 3 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

단계 4

$0$ 과(와)

$\frac{3}{2}$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

단계 4.2

$- x^{2}$ 에서

$x^{2}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

단계 4.4

$- 2$ 은

$x$ 에 대해 상수이므로,

$- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해

$x^{2}$ 를

$x$ 에 대해 적분하면

$\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 와

$x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

단계 4.7

$3$ 은

$x$ 에 대해 상수이므로,

$3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

단계 4.8

멱의 법칙에 의해

$x$ 를

$x$ 에 대해 적분하면

$\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

단계 4.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$\frac{1}{2}$ 와

$x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

단계 4.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.1

$\frac{3}{2}$ ,

$0$ 일 때,

$\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

단계 4.9.2.2

$\frac{3}{2}$ ,

$0$ 일 때,

$\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2

$0$ 및

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.2.1

$0$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.2.2.1

$3$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2.2.4

$0$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3

$- 1$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.4

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ 를

$0$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

단계 4.9.2.3.6

$0$ 및

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.6.1

$0$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 4.9.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.6.2.1

$2$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.9.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.9.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

단계 4.9.2.3.6.2.4

$0$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

단계 4.9.2.3.7

$- 1$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

단계 4.9.2.3.8

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ 를

$0$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.1.2

$3$ 를

$3$ 승 합니다.

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.1.3

$2$ 를

$3$ 승 합니다.

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.3.1

$27$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{3 (9)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.4.1

$- 2$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.4.2

$8$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

단계 4.9.3.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.5.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

단계 4.9.3.1.5.2

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

단계 4.9.3.1.5.3

$2$ 를

$2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

단계 4.9.3.1.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

단계 4.9.3.1.7

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.7.1

$\frac{9}{4}$ 에

$\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

단계 4.9.3.1.7.2

$4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

단계 4.9.3.1.8

$3 (\frac{9}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.1.8.1

$3$ 와

$\frac{9}{8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

단계 4.9.3.1.8.2

$3$ 에

$9$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

단계 4.9.3.2

공통 분모를 가지는 분수로

$- \frac{9}{4}$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

단계 4.9.3.3

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.3.1

$\frac{9}{4}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

단계 4.9.3.3.2

$4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

단계 4.9.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

단계 4.9.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.3.5.1

$- 9$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 + 27}{8}$

단계 4.9.3.5.2

$- 18$ 를

$27$ 에 더합니다.

$\frac{9}{8}$

단계 5

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