미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 5, 1]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[- 5, 1]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 6 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$6 x + 6 + 0$

단계 3.1.4.2

$6 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 6 x + 6$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x + 6$ 입니다.

$6 x + 6$

단계 4

도함수가 $(- 5, 1)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(- 5, 1)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(- 5, 1)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(- 5, 1)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[- 5, 1]$ 에서 연속이고 $(- 5, 1)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[- 5, 1]$ 에서 연속이며 $(- 5, 1)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[- 5, 1]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 5$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 5$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 5$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = 75 - 30 - 5$

단계 7.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.2.1

$75$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = 45 - 5$

단계 7.2.2.2

$45$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = 40$

단계 7.2.3

최종 답은 $40$ 입니다.

$40$

단계 8

$[- 5, 1]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

단계 8.2.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

단계 8.2.1.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 3 + 6 - 5$

단계 8.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 8.2.2.1

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (1) = 9 - 5$

단계 8.2.2.2

$9$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (1) = 4$

단계 8.2.3

최종 답은 $4$ 입니다.

$4$

단계 9

$6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 5))}{- (1 - 5)}$ .

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단계 9.1

$\frac{(4) - (40)}{(1) - (- 5)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1

$- 1$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$6 x + 6 = \frac{4 - 40}{1 - (- 5)}$

단계 9.1.1.2

$4$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 - (- 5)}$

단계 9.1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.1.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 + 5}$

단계 9.1.2.2

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$6 x + 6 = \frac{- 36}{6}$

단계 9.1.3

$- 36$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$6 x + 6 = - 6$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$6 x = - 6 - 6$

단계 9.2.2

$- 6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$6 x = - 12$

단계 9.3

$6 x = - 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$6 x = - 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

단계 9.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 12}{6}$

단계 9.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.3.1

$- 12$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x = - 2$

단계 10

$x = - 2$ 에서 끝점 $a = - 5$ 과 $b = 1$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11

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