미적분 예제

f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해

4 x^{2} - 3 x + 1

$4 x^{2} - 3 x + 1$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2

\frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

4

$4$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

4 x^{2}

$4 x^{2}$ 의 미분은

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.2

n = 2

$n = 2$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.3

2

$2$ 에

4

$4$ 을 곱합니다.

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3

\frac{d}{d x} [- 3 x]

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

- 3

$- 3$ 은

x

$x$ 에 대해 일정하므로

x

$x$ 에 대한

- 3 x

$- 3 x$ 의 미분은

- 3 \frac{d}{d x} [x]

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.2

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.3

- 3

$- 3$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

1

$1$ 이

x

$x$ 에 대해 일정하므로,

1

$1$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

1

$1$ 입니다.

8 x - 3 + 0

$8 x - 3 + 0$

단계 1.4.2

8 x - 3

$8 x - 3$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해

8 x - 3

$8 x - 3$ 를

x

$x$ 에 대해 미분하면

\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$8$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$8 x$ 의 미분은

$8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.2.3

$8$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 3$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 3$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 3$ 입니다.

$f'' (x) = 8 + 0$

단계 2.3.2

$8$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를

$0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$8 x - 3 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해

$4 x^{2} - 3 x + 1$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$4$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$4 x^{2}$ 의 미분은

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.2.3

$2$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 3$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- 3 x$ 의 미분은

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.3.3

$- 3$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$1$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$1$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$1$ 입니다.

$f' (x) = 8 x - 3 + 0$

단계 4.1.4.2

$8 x - 3$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 8 x - 3$

단계 4.2

$f (x)$ 의

$x$ 에 대한 1차 도함수는

$8 x - 3$ 입니다.

$8 x - 3$

단계 5

1차 도함수가

$0$ 이 되도록 한 뒤 방정식

$8 x - 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가

$0$ 이 되게 합니다.

$8 x - 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에

$3$ 를 더합니다.

$8 x = 3$

단계 5.3

$8 x = 3$ 의 각 항을

$8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$8 x = 3$ 의 각 항을

$8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

단계 5.3.2.1.2

$x$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{8}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{3}{8}$

단계 8

$x = \frac{3}{8}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$8$

단계 9

이계도함수가 양수이므로

$x = \frac{3}{8}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3}{8}$ 은 극소값입니다.

단계 10

$x = \frac{3}{8}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수

$x$ 에

$\frac{3}{8}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 {(\frac{3}{8})}^{2} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$\frac{3}{8}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.2

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.3

$8$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{64}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.4.1

$64$ 에서

$4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 (16)}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 16}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

단계 10.2.1.5

$- 3 (\frac{3}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.5.1

$- 3$ 와

$\frac{3}{8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 3 \cdot 3}{8} + 1$

단계 10.2.1.5.2

$- 3$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 9}{8} + 1$

단계 10.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9}{8} + 1$

단계 10.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$\frac{9}{8}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - (\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

단계 10.2.2.2

$\frac{9}{8}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 1$

단계 10.2.2.3

$1$ 를 분모가

$1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

단계 10.2.2.4

$\frac{1}{1}$ 에

$\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

단계 10.2.2.5

$\frac{1}{1}$ 에

$\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{16}{16}$

단계 10.2.2.6

$8 \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16}$

단계 10.2.2.7

$2$ 에

$8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{16} + \frac{16}{16}$

단계 10.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 16}{16}$

단계 10.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1

$- 9$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 16}{16}$

단계 10.2.4.2

$9$ 에서

$18$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 16}{16}$

단계 10.2.4.3

$- 9$ 를

$16$ 에 더합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{7}{16}$

단계 10.2.5

최종 답은

$\frac{7}{16}$ 입니다.

$y = \frac{7}{16}$

단계 11

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{3}{8}, \frac{7}{16})$ 은 극솟값임

단계 12

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