미적분 예제

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해

$5 x^{4} - 10 x^{2}$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$5$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$5 x^{4}$ 의 미분은

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$4$ 에

$5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 10$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- 10 x^{2}$ 의 미분은

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에

$- 10$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해

$20 x^{3} - 20 x$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$20$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$20 x^{3}$ 의 미분은

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.2.2.3

$3$ 에

$20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 20$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- 20 x$ 의 미분은

$- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \cdot 1$

단계 1.2.3.3

$- 20$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20$

단계 1.3

$f (x)$ 의

$x$ 에 대한 2차 도함수는

$60 x^{2} - 20$ 입니다.

$60 x^{2} - 20$

단계 2

2차 도함수를

$0$ 으로 두고 식

$60 x^{2} - 20 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를

$0$ 과(와) 같게 합니다.

$60 x^{2} - 20 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에

$20$ 를 더합니다.

$60 x^{2} = 20$

단계 2.3

$60 x^{2} = 20$ 의 각 항을

$60$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$60 x^{2} = 20$ 의 각 항을

$60$ 로 나눕니다.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$60$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{20}{60}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$20$ 및

$60$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$20$ 에서

$20$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{20 (1)}{60}$

단계 2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.2.1

$60$ 에서

$20$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

단계 2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

단계 2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

단계 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.2

$1$ 의 거듭제곱근은

$1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를

$1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를

$1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.5.4.4

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.4.5

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을

$3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{3}$ 을(를)

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저,

$\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6.2

그 다음

$\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 3

2차 도함수가

$0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 에

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입하여

$y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수

$x$ 에

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.1

${\sqrt{3}}^{4}$ 을

$3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{3}$ 을(를)

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와

$4$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.4

$4$ 및

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.1.4.1

$4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.2.1.4.2.1

$2$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.1.4.2.4

$2$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.2.2

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.3

$3$ 를

$4$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.4

$9$ 및

$81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.4.1

$9$ 에서

$9$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.4.2.1

$81$ 에서

$9$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.5

$5$ 와

$\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.1.2.1.6

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7

${\sqrt{3}}^{2}$ 을

$3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{3}$ 을(를)

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.7.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

단계 3.1.2.1.8

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

단계 3.1.2.1.9

$3$ 및

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.9.1

$3$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

단계 3.1.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.9.2.1

$9$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 3.1.2.1.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 3.1.2.1.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

단계 3.1.2.1.10

$- 10$ 와

$\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

단계 3.1.2.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

단계 3.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로

$- \frac{10}{3}$ 을 표현하기 위해

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.1.2.3

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$\frac{10}{3}$ 에

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

단계 3.1.2.3.2

$3$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

단계 3.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

단계 3.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.5.1

$- 10$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

단계 3.1.2.5.2

$5$ 에서

$30$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

단계 3.1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

단계 3.1.2.7

최종 답은

$- \frac{25}{9}$ 입니다.

$- \frac{25}{9}$

단계 3.2

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 에

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입하여 구한 점은

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

단계 3.3

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 에

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입하여

$y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수

$x$ 에

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

지수 법칙

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.2

$- 1$ 를

$4$ 승 합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.3

$\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1

${\sqrt{3}}^{4}$ 을

$3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{3}$ 을(를)

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ 와

$4$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.4

$4$ 및

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1.4.1

$4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1.4.2.1

$2$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.1.4.2.4

$2$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.4.2

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.5

$3$ 를

$4$ 승 합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.6

$9$ 및

$81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.6.1

$9$ 에서

$9$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.6.2.1

$81$ 에서

$9$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.7

$5$ 와

$\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

단계 3.3.2.1.8

지수 법칙

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.8.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

단계 3.3.2.1.8.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

단계 3.3.2.1.9

$- 1$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

단계 3.3.2.1.10

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11

${\sqrt{3}}^{2}$ 을

$3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{3}$ 을(를)

$3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.11.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.11.5

지수값을 계산합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

단계 3.3.2.1.12

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

단계 3.3.2.1.13

$3$ 및

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.13.1

$3$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

단계 3.3.2.1.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.13.2.1

$9$ 에서

$3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 3.3.2.1.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 3.3.2.1.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

단계 3.3.2.1.14

$- 10$ 와

$\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

단계 3.3.2.1.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

단계 3.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로

$- \frac{10}{3}$ 을 표현하기 위해

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.3.2.3

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$\frac{10}{3}$ 에

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

단계 3.3.2.3.2

$3$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

단계 3.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

단계 3.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.5.1

$- 10$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

단계 3.3.2.5.2

$5$ 에서

$30$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

단계 3.3.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

단계 3.3.2.7

최종 답은

$- \frac{25}{9}$ 입니다.

$- \frac{25}{9}$

단계 3.4

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 에

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 대입하여 구한 점은

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수

$x$ 에

$- 0.67735026$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.67735026) = 60 {(- 0.67735026)}^{2} - 20$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 0.67735026$ 를

$2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

단계 5.2.1.2

$60$ 에

$0.45880338$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.67735026) = 27.52820323 - 20$

단계 5.2.2

$27.52820323$ 에서

$20$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.67735026) = 7.52820323$

단계 5.2.3

최종 답은

$7.52820323$ 입니다.

$7.52820323$

단계 5.3

$- 0.67735026$ 에서의 이계도함수는

$7.52820323$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 증가함

$f'' (x) > 0$ 이므로

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 증가함

단계 6

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수

$x$ 에

$0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 20$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 20$

단계 6.2.1.2

$60$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 20$

단계 6.2.2

$0$ 에서

$20$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 20$

단계 6.2.3

최종 답은

$- 20$ 입니다.

$- 20$

단계 6.3

$0$ 에서의 2차 미분값은

$- 20$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 감소함

$f'' (x) < 0$ 이므로

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수

$x$ 에

$0.67735026$ 을 대입합니다.

$f'' (0.67735026) = 60 {(0.67735026)}^{2} - 20$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.67735026$ 를

$2$ 승 합니다.

$f'' (0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

단계 7.2.1.2

$60$ 에

$0.45880338$ 을 곱합니다.

$f'' (0.67735026) = 27.52820323 - 20$

단계 7.2.2

$27.52820323$ 에서

$20$ 을 뺍니다.

$f'' (0.67735026) = 7.52820323$

단계 7.2.3

최종 답은

$7.52820323$ 입니다.

$7.52820323$

단계 7.3

$0.67735026$ 에서의 이계도함수는

$7.52820323$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 에서 증가함

$f'' (x) > 0$ 이므로

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

단계 9

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