미적분 예제

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

단계 1.1.4.2

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$12 x^{2} + 12 x + 0$

단계 1.2.4.2

$12 x^{2} + 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} + 12 x$ 입니다.

$12 x^{2} + 12 x$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} + 12 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} + 12 x = 0$

단계 2.2

$12 x^{2} + 12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x = 0$

단계 2.2.2

$12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

단계 2.2.3

$12 x (x) + 12 x (1)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x + 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.6

$12 x (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

단계 3.1.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

단계 3.1.2.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

단계 3.1.2.1.4

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

단계 3.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

단계 3.1.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 3.1.2.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 3.2

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 1)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 1)$

단계 3.3

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

단계 3.3.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

단계 3.3.2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

단계 3.3.2.1.4

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

단계 3.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

단계 3.3.2.2.2

$- 1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 7 + 1$

단계 3.3.2.2.3

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 8$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $8$ 입니다.

$8$

단계 3.4

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, 8)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, 8)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 1), (- 1, 8)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

단계 5.2.1.3

$12$ 에 $- 1.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

단계 5.2.2

$14.52$ 에서 $13.2$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.1) = 1.32$

단계 5.2.3

최종 답은 $1.32$ 입니다.

$1.32$

단계 5.3

$- 1.1$ 에서의 이계도함수는 $1.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 6.2.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.6.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

단계 6.2.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.7.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

단계 6.2.1.7.2

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

단계 6.2.1.7.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

단계 6.2.1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

단계 6.2.1.8

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

단계 6.2.2

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 6.3

$- \frac{1}{2}$ 에서의 2차 미분값은 $- 3$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 1, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 0)$ 에서 감소함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

단계 7.2.1.3

$12$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

단계 7.2.2

$0.12$ 를 $1.2$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 1.32$

단계 7.2.3

최종 답은 $1.32$ 입니다.

$1.32$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $1.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 1, 8), (0, 1)$ 입니다.

$(- 1, 8), (0, 1)$

단계 9

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