미적분 예제

$f (x) = x^{5} - 8$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{5} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.1.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 1.1.1.3

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$5 x^{4} + 0$

단계 1.1.1.4

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 5 x^{4}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (4 x^{3})$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 x^{3}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $20 x^{3}$ 입니다.

$20 x^{3}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $20 x^{3} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$20 x^{3} = 0$

단계 1.2.2

$20 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $20$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$20 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $20$ 로 나눕니다.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

단계 1.2.2.2.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{0}{20}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.3.1

$0$ 을 $20$ 로 나눕니다.

$x^{3} = 0$

단계 1.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 1.2.4

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 1.2.4.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = 20 {(- 2)}^{3}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = 20 \cdot - 8$

단계 4.2.2

$20$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = - 160$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 160$ 입니다.

$- 160$

단계 4.3

$f'' (- 2)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(0, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = 20 {(2)}^{3}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (2) = 20 \cdot 8$

단계 5.2.2

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = 160$

단계 5.2.3

최종 답은 $160$ 입니다.

$160$

단계 5.3

$f'' (2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(0, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

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