미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

단계 1.1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

단계 1.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

단계 1.1.1.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 1.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

단계 1.1.2.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 24 x$ 입니다.

$12 x^{2} - 24 x$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} - 24 x = 0$

단계 1.2.2

$12 x^{2} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) - 24 x = 0$

단계 1.2.2.2

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

단계 1.2.2.3

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x - 2) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.6

$12 x (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

단계 4.2.1.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

단계 4.2.1.3

$- 24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 + 48$

단계 4.2.2

$48$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = 96$

단계 4.2.3

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

단계 4.3

$f'' (- 2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(0, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

단계 5.2.1.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24$

단계 5.2.2

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 12$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 5.3

$f'' (1)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 2)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

단계 6.2.1.3

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 96$

단계 6.2.2

$192$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 96$

단계 6.2.3

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 2)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

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