미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.4.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

단계 2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx 3.02727941$

단계 3

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

단계 4

1차 도함수 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 의 $(- \infty, 3.02727941)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

단계 4.2.1.2

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

단계 4.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

단계 4.2.1.4

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

단계 4.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 + 1$

단계 4.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = 1$

단계 4.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 5

1차 도함수 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 의 $(3.02727941, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 에 $216$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

단계 5.2.1.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

단계 5.2.1.4

$12$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 864$ 를 $432$ 에 더합니다.

$f' (6) = - 432 + 1$

단계 5.2.2.2

$- 432$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (6) = - 431$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 431$ 입니다.

$- 431$

단계 6

1차 도함수의 부호가 $x = 3.02727941$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 3.02727941$ 은 전환점입니다.

단계 7

$3.02727941$ 의 y좌표를 구해서 전환점을 찾습니다.

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단계 7.1

$3.02727941$ 의 y좌표를 구해서 $f (3.02727941)$ 를 찾습니다.

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단계 7.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.02727941$ 을 대입합니다.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.2.1

$3.02727941$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.2.2

$4$ 에 $27.7432619$ 을 곱합니다.

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.2.3

$3.02727941$ 를 $4$ 승 합니다.

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.2.4

$- 1$ 에 $83.98660555$ 을 곱합니다.

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.3

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1.2.3.1

$110.9730476$ 에서 $83.98660555$ 을 뺍니다.

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

단계 7.1.2.3.2

$26.98644204$ 를 $3.02727941$ 에 더합니다.

$30.01372146 + 5$

단계 7.1.2.3.3

$30.01372146$ 를 $5$ 에 더합니다.

$35.01372146$

단계 7.2

$x$ 및 $y$ 좌표를 점 형태로 다시 씁니다.

$(3.02727941, 35.01372146)$

단계 8

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