미적분 예제

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.3

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.4

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $15$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.5.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.6.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.6.1.3

$- 1$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.6.2

$27$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.2.6.3

$15$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

단계 1.3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

단계 1.3.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

단계 1.3.4

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

단계 1.3.5

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $18$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.6.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.6.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.6.3

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.7

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.7.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.7.1.3

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

단계 1.3.7.1.4

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

단계 1.3.7.2

$27$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

단계 1.3.7.3

$36$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{18 - 18}$

단계 1.3.7.4

$18$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.7.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.8

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 x - 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.4.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.5

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.6

$3 x^{2} - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.10

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.10.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.10.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.10.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

단계 3.11

$- 18$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 18$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

단계 3.12

$3 x^{2} + 2 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 4

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 5

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 7

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 8

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

단계 9

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

단계 10

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

단계 11

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

단계 12

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

단계 13

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

단계 14

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

단계 14.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

단계 14.3

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1.1

$3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.1.4

$27$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

단계 15.2.4

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

단계 15.2.5

$27$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{23}{33 - 6}$

단계 15.2.6

$33$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{23}{27}$

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