대수 예제

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 6 b - 3 c a - 2 b + c a + 3 b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

단계 1

변환은

R^{3}

$ℝ^{3}$ 에서

R^{3}

$ℝ^{3}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 3

덧셈 성질이

S

$S$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

단계 6

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

단계 6.2

x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

단계 6.3

x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

단계 7

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

단계 8

변환의 덧셈 성질이 성립합니다.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 9

변환이 선형이기 위해서는 스칼라 곱을 유지해야 합니다.

S (p x) = T ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

단계 10

각 원소를

p

$p$ 로 인수분해합니다.

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단계 10.1

행렬의 각 원소에

p

$p$ 을 곱합니다.

S (p x) = S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p a p b p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

단계 10.2

벡터를 변환합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) (p a) - 2 (p b) + p c (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

단계 10.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)

$(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p (p a) - 2 (p b) + p c (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

단계 10.3.2

(p a) - 2 (p b) + p c

$(p a) - 2 (p b) + p c$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

단계 10.3.3

(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)

$(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

단계 10.4

행렬의 각 원소를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

a p - 6 b p - 3 c p

$a p - 6 b p - 3 c p$ 을 곱하여 원소

0, 0

$0, 0$ 를 인수분해합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

단계 10.4.2

a p - 2 b p + c p

$a p - 2 b p + c p$ 을 곱하여 원소

1, 0

$1, 0$ 를 인수분해합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

단계 10.4.3

a p + 3 b p + 5 c p

$a p + 3 b p + 5 c p$ 을 곱하여 원소

2, 0

$2, 0$ 를 인수분해합니다.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

단계 11

이 변환에서는 선형 변환의 두 번째 성질이 성립됩니다.

S ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

단계 12

선형 변환이 되려면 영 벡터가 보존되어야 합니다.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

단계 13

벡터를 변환합니다.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 (0) - 2 \cdot 0 + 0 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

단계 14

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0

$(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 (0) - 2 \cdot 0 + 0 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

단계 14.2

(0) - 2 \cdot 0 + 0

$(0) - 2 \cdot 0 + 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 00 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

단계 14.3

(0) + 3 (0) + 5 (0)

$(0) + 3 (0) + 5 (0)$ 을(를) 다시 정렬합니다.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 15

영벡터는 변환 후 그대로 유지됩니다.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

단계 16

선형 변환의 세 가지 성질을 모두 만족하지 않으므로, 이는 선형 변환이 아닙니다.

선형 변환

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