대수 예제

$(5, - 3)$ , $(4, - 3)$ , $(- 5, - 3)$

단계 1

쌍곡선에 대한 일반 방정식에는 2개의 형태가 있습니다.

수평 쌍곡선 방정식 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

세로 방향의 쌍곡선 방정식 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 2

$a$ 는 꼭짓점 $(4, - 3)$ 과 중심점 $(5, - 3)$ 사이의 거리입니다.

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단계 2.1

거리 공식을 사용해 두 점 사이의 거리를 알아냅니다.

$거리 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

단계 2.2

점의 실제값을 거리 공식에 대입합니다.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 2.3.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

단계 2.3.4

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

단계 2.3.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$a = \sqrt{1 + 0}$

단계 2.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a = \sqrt{1}$

단계 2.3.7

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$a = 1$

단계 3

$c$ 는 초점 $(- 5, - 3)$ 과 중심 $(5, - 3)$ 사이의 거리입니다.

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단계 3.1

거리 공식을 사용해 두 점 사이의 거리를 알아냅니다.

$거리 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

단계 3.2

점의 실제값을 거리 공식에 대입합니다.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 3.3.2

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

단계 3.3.4

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

단계 3.3.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$c = \sqrt{100 + 0}$

단계 3.3.6

$100$ 를 $0$ 에 더합니다.

$c = \sqrt{100}$

단계 3.3.7

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$c = \sqrt{10^{2}}$

단계 3.3.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$c = 10$

단계 4

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 식을 사용합니다. $a$ 에 $1$ 를, $c$ 에 $10$ 을 대입합니다.

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단계 4.1

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

단계 4.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

단계 4.3

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + b^{2} = 100$

단계 4.4

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.4.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$b^{2} = 100 - 1$

단계 4.4.2

$100$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$b^{2} = 99$

단계 4.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$b = \pm \sqrt{99}$

단계 4.6

$\pm \sqrt{99}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$99$ 을 $3^{2} \cdot 11$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.6.1.1

$99$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

단계 4.6.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

단계 4.6.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

단계 4.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$b = 3 \sqrt{11}$

단계 4.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$b = - 3 \sqrt{11}$

단계 4.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

단계 5

$b$ 는 거리이므로 양수이여야 합니다.

$b = 3 \sqrt{11}$

단계 6

초점 $(- 5, - 3)$ 와 중심 $(5, - 3)$ 사이의 직선의 기울기가 쌍곡선의 방향에 수직인지, 아니면 수평인지를 결정합니다. 기울기가 $0$ 이면 그래프는 수평 방향입니다. 기울기가 정의되지 않은 경우 그래프는 수직 방향입니다.

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단계 6.1

기울기는 $x$ 의 변화량 분의 $y$ 의 변화량 혹은 변화율과 같습니다.

$m = \frac{y값의 변화}{x값의 변화}$

단계 6.2

$x$ 의 변화량은 x좌표값의 차이(run)와 같고, $y$ 의 변화량은 y좌표값의 차이(rise)와 같습니다.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

단계 6.3

$x$ 와 $y$ 값을 방정식에 대입하여 기울기를 구합니다.

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

단계 6.4

간단히 합니다.

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단계 6.4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.4.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

단계 6.4.1.2

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

단계 6.4.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.4.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$m = \frac{0}{5 + 5}$

단계 6.4.2.2

$5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$m = \frac{0}{10}$

단계 6.4.3

$0$ 을 $10$ 로 나눕니다.

$m = 0$

단계 6.5

수평 쌍곡선 방정식의 일반형은 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 입니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 7

$h = 5$ , $k = - 3$ , $a = 1$ , $b = 3 \sqrt{11}$ 값을 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 에 대입하여 쌍곡선의 방정식인 $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ 을 얻습니다.

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

단계 8

쌍곡선의 최종 방정식을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

단계 8.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

단계 8.3

${(x - 5)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

단계 8.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

단계 8.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$3 \sqrt{11}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

단계 8.5.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

단계 8.5.3

${\sqrt{11}}^{2}$ 을 $11$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{11}$ 을(를) $11^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

단계 8.5.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

단계 8.5.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

단계 8.5.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

단계 8.5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

단계 8.5.3.5

지수값을 계산합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

단계 8.6

$9$ 에 $11$ 을 곱합니다.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

단계 9

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