대수 예제

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

단계 1

주어진 점 $C = (- 2, 8, 9)$ 과 $D = (3, 0, 0)$ 를 이용하여 직선 $CD$ 에 평행하며 $A = (2, 6, - 8)$ 과 $B = (- 12, - 2, - 1)$ 점을 포함하는 평면을 구합니다.

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

단계 2

먼저, 점 $C$ 와 $D$ 를 지나는 직선의 방향벡터를 계산합니다. 점 $D$ 의 좌표값에서 점 $C$ 의 좌표값을 빼면 방향벡터를 구할 수 있습니다.

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

단계 3

$x$ , $y$ , $z$ 값을 대입해서 정리하여 선 $CD$ 에 대한 방향벡터 $V_{CD}$ 를 구합니다.

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

단계 4

같은 방법으로 $A$ 점과 $B$ 점을 지나는 직선의 방향 벡터를 계산합니다.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

단계 5

$x$ , $y$ , $z$ 값을 대입해서 정리하여 선 $AB$ 에 대한 방향벡터 $V_{AB}$ 를 구합니다.

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

단계 6

해가 되는 평면은 점 $A$ , $B$ 를 포함하는 직선을 포함하며 방향 벡터 $V_{A B}$ 를 갖습니다. 이 평면이 직선 $C D$ 에 평행하도록 직선 $C D$ 의 방향 벡터에 직교하는 평면의 법선 벡터를 찾습니다. 행렬 $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 의 행렬식을 구해 외적 $V_{A B}$ x $V_{C D}$ 를 계산하여 법선 벡터를 구합니다.

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

단계 7

행렬식을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. $0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 행 $1$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 7.1.2

지수가 사인 차트에서 $-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 7.1.3

$a_{11}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $1$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

단계 7.1.4

$a_{11}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

단계 7.1.5

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

단계 7.1.6

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

단계 7.1.7

$a_{13}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $3$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

단계 7.1.8

$a_{13}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.1.9

항을 함께 더합니다.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.2

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

$- 8$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.2.2.1.2

$- (- 8 \cdot 7)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.2.1

$- 8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.2.2.1.2.2

$- 1$ 에 $- 56$ 을 곱합니다.

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.2.2.2

$72$ 를 $56$ 에 더합니다.

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.3

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.1

$- 14$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.3.2.1.2

$- 5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.3.2.2

$126$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

단계 7.4

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

단계 7.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

$- 14$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

단계 7.4.2.1.2

$- 5$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

단계 7.4.2.2

$112$ 를 $40$ 에 더합니다.

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$i$ 의 왼쪽으로 $128$ 이동하기

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

단계 7.5.2

$- 1$ 에 $91$ 을 곱합니다.

$128 i - 91 j + 152 k$

단계 8

점 $A$ 가 평면 위에 있으므로, 이 점에서 식 $(128) x + (- 91) y + (152) z$ 를 풉니다. 이는 평면방정식의 상수를 계산하는 데 사용됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$128$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

단계 8.1.2

$- 91$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

단계 8.1.3

$152$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$256 - 546 - 1216$

단계 8.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$256$ 에서 $546$ 을 뺍니다.

$- 290 - 1216$

단계 8.2.2

$- 290$ 에서 $1216$ 을 뺍니다.

$- 1506$

단계 9

상수를 더하여 평면의 방정식 $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ 을 구합니다.

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

단계 10

$152$ 에 $z$ 을 곱합니다.

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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