대수 예제

x - y = 4

$x - y = 4$ ,

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$

단계 1

점

(p, q, r)

$(p, q, r)$ 을 지나고 평면

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 에 수직인 직선과 평면

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 가 만나는 점을 구하려면:

1. 평면

P_{1}

$P_{1}$ 과 평면

P_{2}

$P_{2}$ 의 법선벡터가

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ ,

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 일 때 내적이 0이 되는지 확인합니다.

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ ,

z = r + c t

$z = r + c t$ 이 되도록 매개변수 방정식 세트를 만듭니다.

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 이 되도록 평면

P_{2}

$P_{2}$ 방정식에 이 방정식들을 대입하고

t

$t$ 에 대해 풉니다.

t

$t$ 값을 사용하여 매개변수 방정식

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ ,

z = r + c t

$z = r + c t$ 를

t

$t$ 에 대해 풀고 교점

(x, y, z)

$(x, y, z)$ 를 구합니다.

단계 2

각 평면의 법선벡터를 구하고 두 벡터의 내적을 계산하여 벡터가 이루는 각이 직각인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

P_{1}

$P_{1}$ 은

x - y = 4

$x - y = 4$ 입니다.

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 를 구합니다.

n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

단계 2.2

P_{2}

$P_{2}$ 은

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ 입니다.

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 를 구합니다.

n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

단계 2.3

법선 벡터의

x

$x$ ,

y

$y$ ,

z

$z$ 값의 곱을 더하여

n_{1}

$n_{1}$ 와

n_{2}

$n_{2}$ 의 내적을 계산합니다.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

단계 2.4

내적을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

괄호를 제거합니다.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

4

$4$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2.2

- 1

$- 1$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

4 + 1 + 0 \cdot 0

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2.3

0

$0$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

단계 2.4.3

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

4

$4$ 를

1

$1$ 에 더합니다.

5 + 0

$5 + 0$

단계 2.4.3.2

5

$5$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

단계 3

a

$a$ ,

b

$b$ ,

c

$c$ 값에 대한 법선벡터

5

$5$ 의 값과 원점

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ 과 점

(p, q, r)

$(p, q, r)$ 을 이용해 매개변수 방정식

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ ,

z = r + c t

$z = r + c t$ 을 세웁니다. 이 매개변수 방정식은

P_{1}

$P_{1}$

x - y = 4

$x - y = 4$ 에 수직인 원점을 지나는 선을 나타냅니다.

x = 0 + 1 \cdot t

$x = 0 + 1 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

단계 4

P_{2}

$P_{2}$

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ 식에 수식

x

$x$

y

$y$

z

$z$ 을 대입합니다.

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

단계 5

t

$t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

0

$0$ 를

1 \cdot t

$1 \cdot t$ 에 더합니다.

4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

단계 5.1.1.2

0

$0$ 에서

1 \cdot t

$1 \cdot t$ 을 뺍니다.

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

단계 5.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

t

$t$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

4 t - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

단계 5.1.2.2

- 1 t

$- 1 t$ 을

- t

$- t$ 로 바꿔 씁니다.

4 t - - t = - 5

$4 t - - t = - 5$

단계 5.1.2.3

- - t

$- - t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.3.1

- 1

$- 1$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

4 t + 1 t = - 5

$4 t + 1 t = - 5$

단계 5.1.2.3.2

t

$t$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

단계 5.1.3

4 t

$4 t$ 를

t

$t$ 에 더합니다.

5 t = - 5

$5 t = - 5$

5 t = - 5

$5 t = - 5$

단계 5.2

5 t = - 5

$5 t = - 5$ 의 각 항을

5

$5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

5 t = - 5

$5 t = - 5$ 의 각 항을

5

$5$ 로 나눕니다.

\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

단계 5.2.2.1.2

$t$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$t = \frac{- 5}{5}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 5$ 을

$5$ 로 나눕니다.

$t = - 1$

단계 6

매개변수 방정식을

$t$ 값을 이용하여

$x$ ,

$y$ ,

$z$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

괄호를 제거합니다.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

단계 6.1.2

$0 + 1 \cdot (- 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$x = 0 - 1$

단계 6.1.2.2

$0$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6.2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

단계 6.2.2

$0 - 1 \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 1$

단계 6.2.2.2

$0$ 를

$1$ 에 더합니다.

$y = 1$

단계 6.3

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

단계 6.3.2

$0 + 0 \cdot (- 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$0$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0$

단계 6.3.2.2

$0$ 를

$0$ 에 더합니다.

$z = 0$

단계 6.4

$x$ ,

$y$ ,

$z$ 에 대한 매개변수 방정식의 해.

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

단계 7

$x$ ,

$y$ ,

$z$ 에 대해 계산된 값을 사용하여 구한 교점은

$(- 1, 1, 0)$ 입니다.

$(- 1, 1, 0)$

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