미적분 예제

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 2, 1]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[- 2, 1]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 6 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 3.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- 6 x + 6 + 0$

단계 3.1.4.2

$- 6 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 6 x + 6$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 6 x + 6$ 입니다.

$- 6 x + 6$

단계 4

도함수가 $(- 2, 1)$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(- 2, 1)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(- 2, 1)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(- 2, 1)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[- 2, 1]$ 에서 연속이고 $(- 2, 1)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[- 2, 1]$ 에서 연속이며 $(- 2, 1)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[- 2, 1]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = - 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

단계 7.2.1.2

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 12 + 6 (- 2) - 5$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 12 - 12 - 5$

단계 7.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 24 - 5$

단계 7.2.2.2

$- 24$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 29$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 29$ 입니다.

$- 29$

단계 8

$[- 2, 1]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

단계 8.2.1.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 3 + 6 (1) - 5$

단계 8.2.1.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 3 + 6 - 5$

단계 8.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 8.2.2.1

$- 3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (1) = 3 - 5$

단계 8.2.2.2

$3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 2$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 9

$- 6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $- 6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

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단계 9.1

$\frac{(- 2) - (- 29)}{(1) - (- 2)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1.1

$- 1$ 에 $- 29$ 을 곱합니다.

$- 6 x + 6 = \frac{- 2 + 29}{1 - (- 2)}$

단계 9.1.1.2

$- 2$ 를 $29$ 에 더합니다.

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 - (- 2)}$

단계 9.1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.1.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 + 2}$

단계 9.1.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 6 x + 6 = \frac{27}{3}$

단계 9.1.3

$27$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$- 6 x + 6 = 9$

단계 9.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$- 6 x = 9 - 6$

단계 9.2.2

$9$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 6 x = 3$

단계 9.3

$- 6 x = 3$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- 6 x = 3$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나눕니다.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$- 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

단계 9.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{- 6}$

단계 9.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$3$ 및 $- 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 (1)}{- 6}$

단계 9.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1.2.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

단계 9.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

단계 9.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{- 2}$

단계 9.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 10

$x = - \frac{1}{2}$ 에서 끝점 $a = - 2$ 과 $b = 1$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11

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