三角関数例

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$

ステップ 1

方程式の両辺に $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{3}{4 π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.4

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$π$ を $4 π$ で因数分解します。

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.4.2

$π$ を $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ で因数分解します。

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.5

$\frac{4}{3}$ と $r^{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.6

$\frac{3}{4}$ に $\frac{4 r^{3}}{3}$ をかけます。

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.7.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.7.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.8

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.1.1.8.2

$r^{3}$ を $1$ で割ります。

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$π$ を $\frac{4}{3} π$ で因数分解します。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (36 π)$

ステップ 2.2.1.1.2

$π$ を $36 π$ で因数分解します。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

ステップ 2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

ステップ 2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \cdot 36$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$ と $36$ をまとめます。

$r^{3} = \frac{36}{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$r^{3} = 36 (\frac{3}{4})$

ステップ 2.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.4.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$r^{3} = 4 (9) \frac{3}{4}$

ステップ 2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$r^{3} = 4 \cdot 9 \frac{3}{4}$

ステップ 2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$r^{3} = 9 \cdot 3$

ステップ 2.2.1.5

$9$ に $3$ をかけます。

$r^{3} = 27$

ステップ 3

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$r^{3} - 27 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} - 3^{3} = 0$

ステップ 4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 3$ です。

$(r - 3) (r^{2} + r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $r$ の左に移動させます。

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 3^{2}) = 0$

ステップ 4.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r - 3 = 0$

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

ステップ 6

$r - 3$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 6.1

$r - 3$ が $0$ に等しいとします。

$r - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$r = 3$

ステップ 7

$r^{2} + 3 r + 9$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 7.1

$r^{2} + 3 r + 9$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

ステップ 7.2

$r$ について $r^{2} + 3 r + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

最終解は $(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

三角関数 例

三角関数例