三角関数例

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

ステップ 1

方程式の両辺を2乗します。

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ を $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ に書き換えます。

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$5 \sin (t) (5 \sin (t))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.2

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.3

$\sin (t)$ を $1$ 乗します。

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

$5$ に $5$ をかけます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.4

$5 \cos (t) (5 \cos (t))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

$5$ に $5$ をかけます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.2

$25 \sin (t) \cos (t)$ の因数を並べ替えます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.3.3

$25 \cos (t) \sin (t)$ と $25 \cos (t) \sin (t)$ をたし算します。

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.4.1

$25 \cos^{2} (t)$ を移動させます。

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.4.2

$25$ を $25 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.4.3

$25$ を $25 \cos^{2} (t)$ で因数分解します。

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.4.4

$25$ を $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ で因数分解します。

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 2.6

$25$ に $1$ をかけます。

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

ステップ 3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

ステップ 4

$t$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

ステップ 4.2

$25$ から $25$ を引きます。

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

ステップ 6

$\cos (t)$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (t)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (t) = 0$

ステップ 6.2

$t$ について $\cos (t) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arccos (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$t = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$t = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.5

$\cos (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.6

$\cos (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (t)$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 7.1

$\sin (t)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (t) = 0$

ステップ 7.2

$t$ について $\sin (t) = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (0)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$t = 0$

ステップ 7.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$t = π - 0$

ステップ 7.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$t = π$

ステップ 7.2.5

$\sin (t)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.2.6

$\sin (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

最終解は $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$t = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

各解を $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ に代入して解き、検算します。

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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