三角関数例

y = - 3 x^{2} + 6 x + 5

$y = - 3 x^{2} + 6 x + 5$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

- 3 x^{2} + 6 x + 5

$- 3 x^{2} + 6 x + 5$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = - 3

$a = - 3$

b = 6

$b = 6$

c = 5

$c = 5$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{6}{2 \cdot - 3}

$d = \frac{6}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

6

$6$ と

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

2

$2$ を

6

$6$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

2

$2$ を

2 \cdot - 3

$2 \cdot - 3$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 3)}

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 3)}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{- 3}$

ステップ 1.1.3.2.2

$3$ と

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$3$ を

$3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 (1)}{- 3}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.2.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$d = - 1$

ステップ 1.1.4

公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

$e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、

$b$ 、および

$a$ の値を公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 5 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$6$ を

$2$ 乗します。

$e = 5 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に

$- 3$ をかけます。

$e = 5 - \frac{36}{- 12}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

$36$ を

$- 12$ で割ります。

$e = 5 - - 3$

ステップ 1.1.4.2.1.4

$- 1$ に

$- 3$ をかけます。

$e = 5 + 3$

ステップ 1.1.4.2.2

$5$ と

$3$ をたし算します。

$e = 8$

ステップ 1.1.5

$a$ 、

$d$ 、および

$e$ の値を頂点形

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 8$ に代入します。

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 8$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 8$

ステップ 2

頂点形、

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

$a$ 、

$h$ 、

$k$ の値を求めます。

$a = - 3$

$h = 1$

$k = 8$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点

$(h, k)$ を求めます。

$(1, 8)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離

$p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に

$- 3$ をかけます。

$\frac{1}{- 12}$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{12}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

$p$ をy座標

$k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と

$p$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, \frac{95}{12})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例