三角関数例

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 4$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = 8 \cos^{2} (x) - 4$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$ として書き換えます。

$8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$8 \cos^{2} (x) = 4$

ステップ 1.2.3

$8 \cos^{2} (x) = 4$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$8 \cos^{2} (x) = 4$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{8}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) = \frac{4 (1)}{8}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.5.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.8

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 1.2.8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.2.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.8.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.8.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.8.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.8.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.8.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.2.8.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.8.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 1.2.8.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 1.2.8.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.8.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.9

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 1.2.9.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.2.9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.9.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.9.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.9.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 1.2.9.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.9.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.9.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.10

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.11

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ 、任意の整数 $n$ について

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

ステップ 2.2.2

$8 \cos^{2} (0) - 4$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$y = 8 \cdot 1^{2} - 4$

ステップ 2.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 8 \cdot 1 - 4$

ステップ 2.2.2.1.3

$8$ に $1$ をかけます。

$y = 8 - 4$

ステップ 2.2.2.2

$8$ から $4$ を引きます。

$y = 4$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 4)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ 、任意の整数 $n$ について

y切片： $(0, 4)$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例