三角関数例

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$arcsec (- 2)$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.1

$3$ を $3 θ$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.1.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2 π}{3}$ をかけます。

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.2.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$θ = \frac{4 π}{9}$

ステップ 5

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6

$θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.2.1

$3$ を $3 θ$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.2.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 6.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.2.2.1.4

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{4 π}{3}$ をかけます。

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.2.1.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.2.1.4.3

$3$ に $3$ をかけます。

$θ = \frac{8 π}{9}$

ステップ 7

$\sec (\frac{3 θ}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{2}{3}$

ステップ 7.5

$2 π \frac{2}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$\frac{2}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

ステップ 7.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} π$

ステップ 7.5.3

$\frac{4}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{4 π}{3}$

ステップ 8

$\sec (\frac{3 θ}{2})$ 関数の周期が $\frac{4 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{4 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

区間 $[0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

ステップ 9.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1.1.1

$3$ を $4 π (0)$ で因数分解します。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

ステップ 9.1.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

ステップ 9.1.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

ステップ 9.1.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

ステップ 9.1.2.1.1.2.4

$4 π \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

ステップ 9.1.2.1.2

$4 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1.2.1

$0$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

ステップ 9.1.2.1.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{4 π}{9} + 0$

ステップ 9.1.2.2

$\frac{4 π}{9}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 π}{9}$

ステップ 9.1.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{4 π}{9}$ を含みます。

$θ = \frac{4 π}{9}$

ステップ 9.2

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

ステップ 9.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1.1

$3$ を $4 π (0)$ で因数分解します。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

ステップ 9.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

ステップ 9.2.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

ステップ 9.2.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

ステップ 9.2.2.1.1.2.4

$4 π \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

ステップ 9.2.2.1.2

$4 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.2.1

$0$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

ステップ 9.2.2.1.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{8 π}{9} + 0$

ステップ 9.2.2.2

$\frac{8 π}{9}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 π}{9}$

ステップ 9.2.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{8 π}{9}$ を含みます。

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

ステップ 9.3

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

ステップ 9.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

ステップ 9.3.2.2

$\frac{4 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.3.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.3.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

ステップ 9.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

ステップ 9.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

ステップ 9.3.2.5.2

$4 π$ と $12 π$ をたし算します。

$\frac{16 π}{9}$

ステップ 9.3.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{16 π}{9}$ を含みます。

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$

三角関数 例

三角関数例