三角関数例

$y = e^{x - 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = e^{y - 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $e^{y - 1} = x$ として書き換えます。

$e^{y - 1} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 2.3.3

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = \ln (x)$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \ln (x) + 1$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ が $f (x) = e^{x - 1}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 1$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

ステップ 4.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.3.3

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

ステップ 4.2.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (x) + 1)$ の値を求めます。

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

ステップ 4.3.3

$(\ln (x) + 1) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

ステップ 4.3.3.2

$\ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (x) + 1) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ は $f (x) = e^{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

三角関数 例

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