三角関数例

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ として書き換えます。

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - y}$ を ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

ステップ 2.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

ステップ 2.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

ステップ 2.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.3.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.3.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.3.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

ステップ 2.4.3.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 2.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

ステップ 2.5.1.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

ステップ 2.5.2

$- y = x^{2} - 2 x - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- y = x^{2} - 2 x - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$\frac{x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$\frac{- 2 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 1 \cdot (- 2 x)$ を $- (- 2 x)$ に書き換えます。

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ が $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ を $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1

$\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1.1

$\sqrt{4 - x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.1.2

$\sqrt{4 - x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2

${\sqrt{4 - x}}^{2}$ を $4 - x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x}$ を ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.3

$\sqrt{4 - x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.4

$\sqrt{4 - x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.1.5

$1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.3.3

$\sqrt{4 - x}$ と $\sqrt{4 - x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.5.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

ステップ 4.2.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

ステップ 4.2.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

ステップ 4.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$- 2 \sqrt{4 - x}$ と $2 \sqrt{4 - x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

ステップ 4.2.4.1.2

$- 5 + x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

ステップ 4.2.4.2

$- 5$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

ステップ 4.2.4.3

$x - 3 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ の値を求めます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

ステップ 4.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

ステップ 4.3.3.2.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

ステップ 4.3.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

ステップ 4.3.3.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

ステップ 4.3.3.3

$4$ から $3$ を引きます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

ステップ 4.3.3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

ステップ 4.3.3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 4.3.3.4.3

多項式を書き換えます。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

ステップ 4.3.3.4.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

ステップ 4.3.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

ステップ 4.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ は $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

三角関数 例

三角関数例