三角関数例

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $- \frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = - \frac{1}{3}$

ステップ 2

等比数列の形です。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

ステップ 3

$a_{1} = 1$ と $r = - \frac{1}{3}$ の値に代入します。

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 4

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ に $1$ をかけます。

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 5.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

ステップ 6

1のすべての数の累乗は1です。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

ステップ 7

${(- 1)}^{n - 1}$ と $\frac{1}{3^{n - 1}}$ をまとめます。

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

ステップ 8

等比数列の1番目 $n$ 項の和を求める公式です。値を求めるには、 $r$ と $a_{1}$ の値を求めます。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

ステップ 9

変数を既知の値で置き換え、 $S_{5}$ を求めます。

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

ステップ 10

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ に $1$ をかけます。

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

ステップ 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

ステップ 11.2

まとめる。

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

ステップ 12

分配則を当てはめます。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

ステップ 13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.3.2

$3$ を $3^{5}$ で因数分解します。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.3.3

共通因数を約分します。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.3.4

式を書き換えます。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.4

1のすべての数の累乗は1です。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.5

$3$ を $4$ 乗します。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.7

分数の前に負数を移動させます。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.9

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{81}{81}$ を掛けます。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.10

$- 3$ と $\frac{81}{81}$ をまとめます。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.11

公分母の分子をまとめます。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.12.1

$- 3$ に $81$ をかけます。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.12.2

$- 1$ から $243$ を引きます。

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 14.13

分数の前に負数を移動させます。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 15

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

ステップ 15.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

ステップ 16

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

ステップ 17

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$- \frac{244}{81}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

ステップ 17.2

$4$ を $- 244$ で因数分解します。

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

ステップ 17.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 17.4

共通因数を約分します。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 17.5

式を書き換えます。

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

ステップ 18

$\frac{- 61}{81}$ に $\frac{1}{- 1}$ をかけます。

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

ステップ 19

$81$ に $- 1$ をかけます。

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

ステップ 20

2つの負の値を割ると正の値になります。

$S_{5} = \frac{61}{81}$

三角関数 例

三角関数例