三角関数例

$\sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x) > 0$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2

分数を分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6

分数を分解します。

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 8

$0$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0 \sec (x)$

ステップ 9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0$

ステップ 10

不等式の両辺から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$

ステップ 11

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ の各項を $\sqrt{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.1

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ の各項を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1.1

共通因数を約分します。

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.3.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) > - 1$

ステップ 12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x > \arctan (- 1)$

ステップ 13

右辺を簡約します。

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ステップ 13.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x > - \frac{π}{4}$

ステップ 14

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 15

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 15.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 15.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 17

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 17.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 17.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 17.3

分数をまとめます。

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ステップ 17.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 17.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 17.4

分子を簡約します。

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ステップ 17.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 17.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 17.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

ステップ 20

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 20.1

区間 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 20.1.1

区間 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 20.1.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{2} \sin (4) + \sqrt{2} \cos (4) > 0$

ステップ 20.1.3

左辺 $- 1.99467202$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 20.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ 偽

ステップ 21

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

三角関数 例

三角関数例