三角関数例

$f (x) = 3 \sin (x) - 2$

ステップ 1

$f (x) = 3 \sin (x) - 2$ を方程式で書きます。

$y = 3 \sin (x) - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 \sin (y) - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 \sin (y) - 2 = x$ として書き換えます。

$3 \sin (y) - 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 \sin (y) = x + 2$

ステップ 3.3

$3 \sin (y) = x + 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 \sin (y) = x + 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\sin (y)$ を $1$ で割ります。

$\sin (y) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ が $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 \sin (x) - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2 + 2}{3})$

ステップ 5.2.4

$3 \sin (x) - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) + 0}{3})$

ステップ 5.2.4.2

$3 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

ステップ 5.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

ステップ 5.2.5.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x))$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}))$ の値を求めます。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) - 2$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}) - 2$

ステップ 5.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

ステップ 5.3.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

ステップ 5.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

ステップ 5.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 2 - 2$

ステップ 5.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ は $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

三角関数 例

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