三角関数例

$f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{y - 3} + 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sqrt[3]{y - 3} = x - 2$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y - 3}}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y - 3}$ を ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y - 3)}^{1} = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y - 3 = {(x - 2)}^{3}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x - 2)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$y - 3 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

ステップ 3.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3$

ステップ 3.5.2

$- 8$ と $3$ をたし算します。

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ が $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ を $x - 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 3}$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.1.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.2

${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 4 + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.5

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.2.6

$2$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 8 - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.3

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.4

${(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2}$ を $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ((\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1.1

$\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1.1.1

$\sqrt[3]{x - 3}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.6.1.1.2

$\sqrt[3]{x - 3}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.6.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6.1.2

${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6.1.3

$2$ を $\sqrt[3]{x - 3}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.6.2

$2 \sqrt[3]{x - 3}$ と $2 \sqrt[3]{x - 3}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 4 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 6 (4 \sqrt[3]{x - 3}) - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.8.1

$4$ に $- 6$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.8.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

ステップ 5.2.3.9

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \cdot 2 - 5$

ステップ 5.2.3.10

$12$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ から $6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

ステップ 5.2.4.1.2

$x + 5$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

ステップ 5.2.4.1.3

$- 24$ と $24$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

ステップ 5.2.4.1.5

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

ステップ 5.2.4.1.6

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

ステップ 5.2.4.2

$12 \sqrt[3]{x - 3}$ から $24 \sqrt[3]{x - 3}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

ステップ 5.2.4.3

$x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 12 \sqrt[3]{x - 3}$ と $12 \sqrt[3]{x - 3}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5)$ の値を求めます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) - 3} + 2$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 5$ から $3$ を引きます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} + 2$

ステップ 5.3.3.2

因数分解した形で $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.5

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.6

$12$ に $2$ をかけます。

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.7

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

ステップ 5.3.3.2.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を $x - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 5.3.3.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 5.3.3.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 5.3.3.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 5.3.3.2.1.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 5.3.3.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 5.3.3.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 5.3.3.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

ステップ 5.3.3.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 5.3.3.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

ステップ 5.3.3.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 5.3.3.2.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)} + 2$

ステップ 5.3.3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})} + 2$

ステップ 5.3.3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 5.3.3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})} + 2$

ステップ 5.3.3.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

ステップ 5.3.3.2.3

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.3.1

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

ステップ 5.3.3.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1 + 2}} + 2$

ステップ 5.3.3.2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

ステップ 5.3.3.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x - 2 + 2$

ステップ 5.3.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ は $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

三角関数 例

三角関数例