三角関数例

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

ステップ 1.2

$9 x^{2} - 36 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 36$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 18}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 18$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$1296$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $36$ をかけます。

$e = 0 - 36$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$e = - 36$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

ステップ 1.3

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$ を方程式 $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ の中の $9 x^{2} - 36 x$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

ステップ 1.4

両辺に $36$ を加えて、 $- 36$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

ステップ 1.5

$- y^{2} - 6 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$\frac{- 3}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 3$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 1 \cdot - 3$ を $- - 3$ に書き換えます。

$d = - - 3$

ステップ 1.5.3.2.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$d = 3$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$36$ を $- 4$ で割ります。

$e = 0 - - 9$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 + 9$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$e = 9$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 3)}^{2} + 9$ に代入します。

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

ステップ 1.6

$- {(y + 3)}^{2} + 9$ を方程式 $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ の中の $- y^{2} - 6 y$ に代入します。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

ステップ 1.7

両辺に $9$ を加えて、 $9$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

ステップ 1.8

$- 18 + 36 - 9$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$- 18$ と $36$ をたし算します。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

ステップ 1.8.2

$18$ から $9$ を引きます。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

ステップ 1.9

各項を $9$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

ステップ 4

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 + 9}$

ステップ 4.3.3

$1$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{10}$

ステップ 5

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 5.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

ステップ 5.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 5.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

ステップ 5.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例