三角関数例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

ステップ 1

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 2

既知数を正弦の法則に代入し $A$ を求めます。

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

ステップ 3

$A$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $14$ を掛けます。

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$14 \frac{\sin (105)}{23}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\sin (105)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.3

角の和の公式を当てはめます。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.5

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.6

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.7

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

ステップ 3.2.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

ステップ 3.2.2.1.3

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ に $\frac{1}{23}$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$4$ に $23$ をかけます。

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.4.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

$2$ を $92$ で因数分解します。

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

ステップ 3.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

ステップ 3.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

ステップ 3.2.2.1.5

$7$ と $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ をまとめます。

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ の値を求めます。

$A = 36.01201213$

ステップ 3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$A = 180 - 36.01201213$

ステップ 3.6

$180$ から $36.01201213$ を引きます。

$A = 143.98798786$

ステップ 3.7

方程式 $A = 36.01201213$ に対する解です。

$A = 36.01201213, 143.98798786$

ステップ 3.8

無効な角を除きます。

$A = 36.01201213$

ステップ 4

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$36.01201213 + C + 105 = 180$

ステップ 5

$C$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$36.01201213$ と $105$ をたし算します。

$C + 141.01201213 = 180$

ステップ 5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $141.01201213$ を引きます。

$C = 180 - 141.01201213$

ステップ 5.2.2

$180$ から $141.01201213$ を引きます。

$C = 38.98798786$

ステップ 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 7

既知数を正弦の法則に代入し $c$ を求めます。

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

ステップ 8

$c$ について方程式を解きます。

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ステップ 8.1

各項を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$\sin (38.98798786)$ の値を求めます。

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

ステップ 8.1.2

$\sin (36.01201213)$ の値を求めます。

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

ステップ 8.1.3

$0.58795485$ を $14$ で割ります。

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

ステップ 8.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 8.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$c, 1$

ステップ 8.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$c$

ステップ 8.3

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ の各項に $c$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ の各項に $c$ を掛けます。

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$c$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

ステップ 8.3.2.1.2

式を書き換えます。

$0.62915744 = 0.04199677 c$

ステップ 8.4

方程式を解きます。

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ステップ 8.4.1

方程式を $0.04199677 c = 0.62915744$ として書き換えます。

$0.04199677 c = 0.62915744$

ステップ 8.4.2

$0.04199677 c = 0.62915744$ の各項を $0.04199677$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$0.04199677 c = 0.62915744$ の各項を $0.04199677$ で割ります。

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

ステップ 8.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1

$0.04199677$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

ステップ 8.4.2.2.1.2

$c$ を $1$ で割ります。

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

ステップ 8.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.1

$0.62915744$ を $0.04199677$ で割ります。

$c = 14.98108954$

ステップ 9

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$

三角関数 例

三角関数例